มาทำโจทย์กันเถอะ

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ทำแบบนี้ได้ไหม
ให้$m-1=k \rightarrow m=k+1$
$m^{m-1}-1=(k+1)^k-1$ หารด้วย $k^2$
เมื่อกระจาย$(k+1)^k$ จะได้ว่าพจน์ที่ไม่มี $k^2$ คือ $\binom{k}{1}k+1 $
$(k+1)^k-1$ กระจายแล้วพจน์ที่ไม่มี $k^2$ คือ $\binom{k}{1}k $ แต่$\binom{k}{1}=k$
$\binom{k}{1}k =k^2$
ดังนั้นจึงสรุปได้ว่าทุกจำนวนเต็ม $m>1$ แล้ว $(m-1)^2$ หาร $m^{m-1}-1$ ลงตัว
อาศัยวิธีการแทนตัวแปรตามซือแป๋หยินหยางแนะในข้อก่อน

ผมว่าวิธีนี้ก็ โอเคนะครับ

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

มานั่งดูเซียนถกกัน

(ไม่ค่อยรู้เรื่องหรอก)

คงหมายถึงซือแป๋หยินหยางกับคุณNooonuiiใช่ไหมครับลุง....
ลุงก็เซียนเหมือนกันครับ อย่าถ่อมตัวเลย ผมยกให้ลุงเป็นเซียนด้วย

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

คงหมายถึงซือแป๋หยินหยางกับคุณNooonuiiใช่ไหมครับลุง....
ลุงก็เซียนเหมือนกันครับ อย่าถ่อมตัวเลย ผมยกให้ลุงเป็นเซียนด้วย

ทั้งหมดทุกท่านที่โพสต์ในกระทู้ครับ เก่งๆทั้งนั้น

[Metamorphosis]

ข้อ 8 ลองใช้ am-gm ดูครับ

[No.Name]

เอามาฝากต่อครับเห็นช่วงนี้คนเล่นเย๊อะเยอะ

4.) กำหนดให้ $a,b$ และ $c$ เป็นรากของสมการ $3x^3-4x^2+5x-1=0$ จงหาค่าของ $a^4+b^4+c^4$

5.) กำหนดให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ $2x+3y+z=13$ และ $4x^2+9y^2+z^2-2x+15y+3z=82$ จงหาค่าของ $xy+yz+zx$

6.) ให้ $x$ เป็นจำนวนจริงซึ่งสอดคล้องกับ $x-\dfrac{1}{4-x}=0$ จงหาค่าของ $x^6+(4-x)^6$

7.) ให้ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเฉพาะบวกที่ทำให้ $p+q$ และ $p+7q$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ทั้งคู่จงหาค่าของ $pq$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

8.) จงหาเลข 6 หลักสุดท้ายของ $1991^{2001}$

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

เอามาฝากต่อครับเห็นช่วงนี้คนเล่นเย๊อะเยอะ



5.) กำหนดให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ $2x+3y+z=13$ และ $4x^2+9y^2+z^2-2x+15y+3z=82$ จงหาค่าของ $xy+yz+zx$

$4x^2+9y^2+18y+z^2+4z = 95$
$4x^2 + 9(y^2+2y+1) + z^2+4z+4 = 95+9+4$
$(2x)^2 + 9(y+1)^2 + (z+2)^2 = 108$
$(2x)^2 + (3y+3)^2 + (z+2)^2 = 108$ *
จากโจทย์ $2x+3y+z=13 , (2x)+(3y+3)+(z+2)= 18$
$324 = (2x)^2 + (3y+3)^2+(z+2)^2+2[(2x)(3y+3)+(3y+3)(z+2)+(2x)(z+2)]$
$216 = 2[(2x)(3y+3)+(3y+3)(z+2)+(2x)(z+2)] = 2((2x)^2 + (3y+3)^2 + (z+2)^2) $

ให้ $A = 2x , B = 3y+3 , C=z+2$
$2AB+2BC+2CA = 2A^2+2B^2+2C^2$
$(A-B)^2+(B-C)^2+(C-A)^2 = 0$
เพราะฉะนั้น $A=B=C, 2x=3y+3=z+2$
ไปแทนใน *
$12x^2 = 108 , x=3,y=1,z=4$

$xy+yz+zx = 3+4+12 = 19$##

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

6.) ให้ $x$ เป็นจำนวนจริงซึ่งสอดคล้องกับ $x-\dfrac{1}{4-x}=0$ จงหาค่าของ $x^6+(4-x)^6$

ถ้า$x\not= 0,4$
$x-\dfrac{1}{4-x}=0\rightarrow 4-x=\frac{1}{x} $
$x^6+(4-x)^6=x^6+\frac{1}{x^6}$

$x-\dfrac{1}{4-x}=0$
$4x-x^2-1=0$
$x^2-4x+1=0$...$x\not= 0,4$
$x+\frac{1}{x}=4 $
$x^2+\dfrac{1}{x^2}=14$
$x^4+\dfrac{1}{x^4}=194$

$x^6+\dfrac{1}{x^6}=(x^2+\dfrac{1}{x^2})(x^4+\dfrac{1}{x^4}-1)$
$=14\times 193$
$=1930+772$
$=2702$

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

เอามาฝากต่อครับเห็นช่วงนี้คนเล่นเย๊อะเยอะ

4.) กำหนดให้ $a,b$ และ $c$ เป็นรากของสมการ $3x^3-4x^2+5x-1=0$ จงหาค่าของ $a^4+b^4+c^4$

โจทย์ผิดปะครับ ในขอบเขตของจำนวนจริง

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

4.) กำหนดให้ $a,b$ และ $c$ เป็นรากของสมการ $3x^3-4x^2+5x-1=0$ จงหาค่าของ $a^4+b^4+c^4$

ผมคิดได้ $-\frac{110}{81} $
จริงๆมันมี"newton relation" สำหรับใช้หาอยู่ มีบทความของคุณGonเขียนไว้อยู่...แต่ผมใช้ไม่เป็นมันจะทำให้ขั้นตอนสั้นกว่าเยอะ
จัดรูปก่อน
$x^3-\frac{4}{3}x^2+ \frac{5}{3}x- \frac{1}{3} =0$
$a+b+c=\frac{4}{3}$
$ab+bc+ac=-\frac{5}{3}$
$abc=\frac{1}{3}$

$\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c} =5 $
$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=\frac{16}{9}-\frac{10}{3} =-\frac{14}{9} $

$a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=(abc)^2(\frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2} +\frac{1}{c^2})$
$\frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2} +\frac{1}{c^2}=(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c})^2-2(\frac{1}{ab} +\frac{1}{bc} +\frac{1}{ca})$
$=25-2(\frac{1}{abc} )(a+b+c)$
$=25-8=17$
$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\frac{17}{9} $

$a^4+b^4+c^4=(\frac{14}{9} )^2-\frac{34}{9}$
$=-\frac{110}{81}$

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

โจทย์ผิดปะครับ ในขอบเขตของจำนวนจริง

ผมลอกโจทย์มาไม่ผิดหรอกครับ แต่ไม่รู้ว่าโจทย์ผิดหรือถูกครับแต่โจทย์ก็ไม่กำหนดว่ารากจริงนี่ครับ

ปล. คุณกิตติมาไวจังครับ

hide

$a^4+b^4+c^4=\left(\,a^2+b^2+c^2\right)^2 -2\left(\,a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)$

$a^2+b^2+c^2= (\dfrac{4}{3})^2-2(\dfrac{5}{3})=\dfrac{-14}{9}$

$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2= (\dfrac{5}{3})^2-2(\dfrac{1}{3})(\dfrac{4}{3})=\dfrac{17}{9}$

$a^4+b^4+c^4=(\dfrac{-14}{9})^2-2(\dfrac{17}{9})=-\dfrac{110}{81}$

[กิตติ]

วันนี้ตัวเล็กนอนเร็วครับเลยมีเวลาเข้ามาแจม และเป็นแนวที่เคยทำมาก่อน
ยังมีอีกหลายข้อในชุดแรกที่ผมยังไขไม่ออก...จดไปแล้วติดแง๊ก

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

วันนี้ตัวเล็กนอนเร็วครับเลยมีเวลาเข้ามาแจม และเป็นแนวที่เคยทำมาก่อน
ยังมีอีกหลายข้อในชุดแรกที่ผมยังไขไม่ออก...จดไปแล้วติดแง๊ก

ข้ออะไรบ้างหรอครับ เดี๋ยวลงให้ครับ

[กิตติ]

ถ้าไม่รบกวนคุณMetamorphosis...ข้อไหนตอบกันไปแล้วก็ช่วยมาร์คสัญญลักษณ์ตรงโจทย์ไว้หน่อยครับ
ข้ออื่นๆเดี๋ยวขอลองแก้ดูก่อน ติดตรงไหนจะแปะถามในกระทู้ครับ...รู้สึกเด็กๆหายหมดเหลือแต่คนเคยเด็กมาแจมกัน
คืนนี้ขอตัวก่อนแล้วครับ ตัวเล็กร้องแล้วครับ

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

12.เป็นโจทย์ยอดฮิตอีกข้อ
กำหนด x,y,z เป็น positive real numbers ซึ่งเป็นคำตอบของระบบสมการ $x^2+xy+y^2 = 57 , y^2+yz+z^2 =84,z^2+zx+x^2 = 111$
$xy+2yz+3zx = ?$

$x^2+xy+y^2 = 57 ------(1)$

$y^2+yz+z^2 = 84 ------ (2)$

$z^2+zx+x^2 = 111 ----- (3)$

$(x+y+z)(x-z)=-27 \ \ \ \ ; (1)-(2)$ *

$(x+y+z)(y-x)=-27 \ \ \ \ ; (2)-(3)$ **

$*-**$ ได้ $(x+y+z)(2x-y-z)=0$ เนื่องจาก $x+y+z>0$ จะได้ $2x=y+z$

แทนใน * ได้

$(3x)(x-z)=-27$

$z=x+\dfrac{9}{x}$ จะได้ $y=x-\dfrac{9}{x}$

ในนำไปแทนใน (1) จะได้

$x^2+x(x-\dfrac{9}{x})+(x-\dfrac{9}{x})=57$

$3x^2+\dfrac{81}{x^2}=84$

$x^4+27-28x^2=0$

$(x^2-1)(x^2-27)=0$

จากโจทย์ $x= 1,3\sqrt{3}$

และถ้า $x=1$ จะได้ $y$ เป็นลบจึงใช้ได้แค่ $x=3\sqrt{3}$

$x=3\sqrt{3},y=2\sqrt{3},z=4\sqrt{3}$

$xy+2yz+3zx=(3\sqrt{3})(2\sqrt{3})+2(2\sqrt{3})(4\sqrt{3})+3(3\sqrt{3})(4\sqrt{3})=174$

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

11.จงหาคำตอบของระบบสมการ
$xy = z-x-y , yz=x-y-z , zx=y-z-x$

$xy=z-x-y -----(1)$
$yz=x-y-z -----(2)$
$zx=y-z-x -----(3)$

(1)-(2) $(y+2)(x-z)=0$

(2)-(3) $(z+2)(y-x)=0$

(3)-(4) $(x+2)(z-y)=0$

กรณีที่ x=z

แทนค่าลงในสมการ (3) ได้ $x^2+2x=y$ นำค่า $y$ แทนในสมการ (1)

$(x+1)y=0\Rightarrow x(x+1)(x+2)=0$

$(x,y,z)=(-1,-1,-1),(-2,0,-2),(0,0,0)$

กรณีที่ y=-2

แทนค่าลงในสมการ (1) ได้ $z=-x-2$ และนำค่า z ไปแทนค่าในสมการ (3) จะได้

$x(-x-2)=-2+x+2+x$

$x(x+4)=0$ แทนค่ากลับได้

$(x,y,z)=(-4,-2,2),(0,-2,-2)$

$(x,y,z)=(-4,-2,2),(0,-2,-2),(-1,-1,-1),(-2,0,-2),(0,0,0)$