ข้อสอบเพชรยอดมงกุฎปี 47 ช่วยคิดหน่อยครับ

[nuthaha]

คิดมา 2 วันแล้วคิดไม่ออกครับ รบกวนช่วยคิดให้หน่อยครับ
แก้วน้ำรูปทรงกระบอกรัศมี 7 ซม. มีน้ำเต็ม มีพื้นที่ผิวข้าง 4162 / 7 ตารางเซนติเมตร ถ้าเอียงแก้วโดยด้านข้างทำมุม 45 องศา กับพื้นราบ จะมีน้ำเหลืออยู่ในแก้วเท่าไร

[MiNd169]

พอเอียงแล้ว น้ำที่หายไปจะเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุม 45 องศา(ถ้ามองใน 2 มิติ)
จากนั้นให้คิด ปริมาตรทรงกระบอก(2มิติ จะเป็นรูปสี่เหลี่ยม)ก่อน แล้วหาร 2 ครับ

[Ulqiorra Sillfer]

ส่วนตัวผมคิดว่าน้ำน่าจะไหลออกไปครึ่งนึงนครับ

[PP_nine]

รู้สึกจะตอบ 1003 นะครับ แต่ใช้ความรู้เกิน ม.ต้นนิดหน่อย - -"

ลองวาดรูปด้านข้างเวลาเอียงแล้ว ตัดด้านบนออก แล้วก็ตัดด้านล่างออกด้วยดังรูป



จะได้ว่าส่วนที่เททิ้งไปเป็นครึ่งหนึ่งของปริมาตรทั้งหมดลบปริมาตรตรงกลาง

ตัวปัญหาอยู่ที่ปริมาตรตรงกลางนี่แหละ ที่เป็นทรงกระบอกหน้าตัดวงรีแถมสูงเอียงอีกด้วย

พื้นที่หน้าตัดวงรีเป็น $\pi ab$ เมื่อ a,b เป็นรัศมีที่ยาวสุด,สั้นสุดจากจุดศูนย์กลาง

แล้วก็เอาพื้นที่หน้าตัดคูณส่วนสูง ตรงนี้ก็ไม่น่าจะมีอะไรเพราะบอกมุม 45 องศามาแล้ว ที่เหลือลองทดๆดูต่อครับ
_____________________________________________________________________

สำหรับคุณ Ulqiorra Sillfer มันจะไหลออกครึ่งหนึ่งก็ต่อเมื่อเวลามองด้านข้างแล้วเส้นระดับของน้ำต้องลากเป็นเส้นทะแยงมุม

[banker]

ผมได้ความสูงแก้วสูงน้อยกว่าเส้นผ่าศูนย์กลางของฐาน (ฐาน 14 สูงราว 13.51)

ถ้าเอียง 45 องศา น้ำที่เหลือน่าจะเน้อยกว่าครึ่ง (น้อยกว่า 1040.5 ลบ.ซม.)
(ปริมาตรแก้ว 2081 ลบ.ซม)

คำนวนแบบม.ต้นธรรมดาๆแล้ว เหลือไม่ถึงลิตร


ให้แก้วน้ำสูง h cm.

$2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times h = \frac{4162}{7}$

$h = \frac{4162}{7 \times 44}$

ปริมาตรน้ำที่เหลือ = $ \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times (\frac{4162}{2 \times \times 7 \times 44})^2 \times (\frac{4162}{7 \times 44}) = 969.36 \ $ลูกบาศก์เซนติเมตร

[paobluespark]

ผิดๆลบๆ 1234

[poper]

ผมคิดคล้ายคุณอา banker ครับ
แต่ผมให้ความสูงระดับน้ำ คือ $x$ แล้วใช้อัตราส่วนสามเหลี่ยมมุม 45 จะได้ $x=\frac{\sqrt{2}}{2}h$
ซึ่งปริมาตรที่เหลือจะเท่ากับปริมาตรทรงกระบอกที่มีรัศมี 7 และสูง $x$
$v=49\pi x=\frac{49\sqrt{2}}{2}\pi h$ $(\pi h=\frac{2081}{49})$
$\therefore v=\frac{2081\sqrt{2}}{2}\approx 1471.49$

[nuthaha]

ในเฉลยตอบ 2004 ครับ ผมก็งง ไม่รู้เฉลยพิมพ์ผิดหรือเปล่า

[poper]

คำตอบไม่ตรงกันเลยสักคน ที่ตรงกันจะมีก็แต่ปริมาตรแก้วกับความสูง

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ paobluespark

วิธีทำก็น่าจะเป็นแบบที่ คุณ PP_nine ว่า

สูตร พื้นที่วงรี เพิ่งรู้ ขอบคุณมากครับ

ลองเฉลยดู ไม่รู้ผิดถูกยังไง ถ้าผิดก็ช่วยบอกที่ถูกหน่อยครับ



$ จะได้ H ของ แก้ว = CE $

$ 14\pi H = \frac{4162}{7} $

$ H = \frac{2081}{49\pi } $

$ ปริมาตรน้ำเต็มแก้ว = \pi (7)(7)(\frac{2081}{49\pi }) = 2081 $

$ CF = 7\sqrt{2} $

$ พื้นที่หน้าตัดของน้ำ = \pi 7(7\sqrt{2} ) = 49\sqrt{2}\pi $

$ AB = \frac{7\sqrt{2}}{2} $

$ ปริมาตรน้ำที่หายไป = \frac{1}{2} (\frac{7\sqrt{2}}{2}) (49\sqrt{2}\pi) = \frac{343\pi}{2} $

$ น้ำเหลือในแก้ว = 2081 - \frac{343\pi}{2} $

$ ถ้า กำหนดว่า \pi = \frac{22}{7} $

$ จะได้น้ำเหลือในแก้ว = 1542 ลบ.ซ.ม. $


อ่าว ไม่ตรงกันแฮะ ผิดตรงไหนแนะนำหน่อยครับ

ตรงนี้หรือเปล่าครับ



อีกอย่างผมว่ารูปน่าจะเป็นแบบนี้มากกว่าครับ
คือส่วนสูงน้อยกว่าเส้นผ่าศูนย์กลางของแก้ว

[poper]

คิดใหม่ได้ 1003 จริงๆครับ
โดยคิดปริมาตรที่ว่างแล้วนำไปลบกับปริมาตรทั้งหมดครับ
ปริมาตรที่ว่างจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของทรงกระบอกที่มีรัศมียาว 7 และสูง 14 ครับ
$2081-\frac{1}{2} (\frac{22}{7})(7^2)(14)=2081-1078=1003$
แต่อันนี้คือวาดรูปให้ความสูงมากกว่าฐานอ่ะครับ
น่าจะเป็นตามที่คุณอาบอก ความสูงจะน้อยกว่าฐานของแก้ว เดี๋ยวลองคิดใหม่อีกทีครับ

[poper]

พอคิดตามรูปตามที่คุณอาทำก็ได้คำตอบเท่ากับคุณอาครับ
น่าจะถูกแล้วมั้งครับ

[PP_nine]

ลืมเช็คไปเลยว่าความสูงน้อยกว่าเส้นผ่านศูนย์กลาง

ว่าแต่ไอ้เฉลย 2004 มันดูแปลกๆนะ เพราะปริมาตรรวมเป็น 2081 แต่เทไปตั้งเกินครึ่งแน่ะ

[paobluespark]

กำ ผิดจริงๆ ขอบคุณครับ

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ปริมาตรน้ำที่เหลือ = $ \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times (\frac{4162}{2 \times \times 7 \times 44})^2 \times (\frac{4162}{7 \times 44}) = 969.36 \ $ลูกบาศก์เซนติเมตร

ผมไม่แน่ใจตรงรัศมีครับ คุณลุงตัดแก้วให้ใบเล็กลง (รัศมี) ไม่ได้คิดจากแก้วใบเดิม

ปริมาตร แปรผันตรงกับ กำลังสองของรัศมี ผมเลยไม่แน่ใจว่า คิดแบบนี้ได้หรือเปล่า

ถ้าคิดจากแก้วใบเดิม แต่ตัดความสูงลง คงไม่เป็นไร เพราะ ปริมาตร แปรผันตรงกับ ความสูง


ผมลองคิดเล่น ๆ ให้แก้วสูงเท่ากับรัศมี แล้วเอียง 45 องศา ตามรูป

น้ำจะเหลือ $\frac{1}{4}$ ของแก้ว

แต่ถ้าคิดแบบคุณลุง จะเหลือ $\frac{1}{2} \pi (\frac{r}{2})^2(r)=\frac{1}{8}$ ของแก้ว

เลยไม่แน่ใจครับ