Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #16  
Old 13 พฤษภาคม 2015, 18:18
FranceZii Siriseth's Avatar
FranceZii Siriseth FranceZii Siriseth ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 พฤษภาคม 2013
ข้อความ: 344
FranceZii Siriseth is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila View Post
ว่าแต่ยังเหลือเวลาเตรียมตัวกี่วัน??
1 เดือนครับ
__________________
Hope is what makes us strong.
It's why we are here.
It is what we fight with when all else is lost.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #17  
Old 13 พฤษภาคม 2015, 18:55
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut View Post
ส่งอสมการมาให้ข้อนึง แต่งเองกับมือครับ

ให้ $a,b,c\in\mathbb{R}$ และ $t=\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}+\dfrac{a-b}{c}$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงพิสูจน์ว่า

$\left(\dfrac{a+b-c}{b-c}\right)^2+\left(\dfrac{b+c-a}{c-a}\right)^2+\left(\dfrac{c+a-b}{a-b}\right)^2\geq\dfrac{t^2}{9}-\dfrac{2t}{3}+2$

และเครื่องหมายอสมการจะกลับข้างเมื่อ $t$ เป็นจำนวนเต็มลบ

โจทย์แนวนี้เป็นโจทย์ที่น่าสนใจครับ เพราะว่าใช้ Identity พิเศษอย่างเดียวก็ออก
สีแดงนี่มันพิเศษยังไงเหรอครับ ถ้าเป็นจำนวนจริงบวกจะได้มั้ย
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #18  
Old 13 พฤษภาคม 2015, 22:45
FranceZii Siriseth's Avatar
FranceZii Siriseth FranceZii Siriseth ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 พฤษภาคม 2013
ข้อความ: 344
FranceZii Siriseth is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555 View Post
เป็นโจทย์แนว TMO 2-3 ปีที่แล้วครับ
3. ให้ $a_1,a_2,...,a_{n-1} \ge 0$ และ $f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+1$
ถ้าสมการ $f(x)=0$ มีคำตอบเป็นจำนวนจริงทั้งหมด จงพิสูจน์ว่า $f(2) \ge 3^n$
ให้ $x_{1},...,x_{n} \in \mathbb{R} $ เป็นรากของพหุนาม ซึ่งต้องเป็นจำนวนจริงลบ
กำหนดให้คือ $-x_{1},...,-x_{n}$ โดยที่ $ x_{i} \ge 0$

$$a_{1} = \sum x_{1} \ge \binom{n}{1} $$
$$a_{2} =\sum x_{1}x_{2} \ge \binom{n}{2} $$


$$a_{i} =\sum x_{1}x_{2}...x_{i} \ge \binom{n}{i} \quad, 1 \le i \le n-1$$

จะได้ว่า $f(x) =x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+1 \ge (x+1)^n $

ดังนั้น $f(2) \ge 3^n $
__________________
Hope is what makes us strong.
It's why we are here.
It is what we fight with when all else is lost.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #19  
Old 14 พฤษภาคม 2015, 17:03
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

ขอโทษครับ ต้องจริงบวกครับ แก้แล้วครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #20  
Old 21 พฤษภาคม 2015, 23:51
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

ปลุกหัวข้อนิดนึงครับ

ให้ $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ โดยที่ $\forall x,y\in\mathbb{R},x>y$ $f(x)^2\leq f(y)$ จงแสดงว่า $\forall x\in\mathbb{R}$ $0\leq f(x)\leq 1$
__________________
I'm Back

21 พฤษภาคม 2015 23:51 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #21  
Old 22 พฤษภาคม 2015, 07:17
FranceZii Siriseth's Avatar
FranceZii Siriseth FranceZii Siriseth ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 พฤษภาคม 2013
ข้อความ: 344
FranceZii Siriseth is on a distinguished road
Default

รบกวนคนที่ทำได้ช่วยเฉลยด้วยนะครับ ผมทำได้ไม่หมดหรอกครับ แหะๆ
__________________
Hope is what makes us strong.
It's why we are here.
It is what we fight with when all else is lost.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #22  
Old 22 พฤษภาคม 2015, 14:36
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

#ข้อคุณ Polsk

$(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$

#ข้อของผมข้อแรก

พิจารณาการเขียน $n$ ในรูปเลขฐานสอง

#ข้อฟังก์ชั่น

ฝั่งมากกว่าศูนย์ชัดเจนว่าจริง

ฝั่งขวาลองแสดงว่าถ้า $f(a+1)>1$ แล้ว $\forall N\in\mathbb{N},f(a+1)^{2^N}<f(a)$
__________________
I'm Back
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #23  
Old 22 พฤษภาคม 2015, 21:06
กขฃคฅฆง's Avatar
กขฃคฅฆง กขฃคฅฆง ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 เมษายน 2015
ข้อความ: 419
กขฃคฅฆง is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กขฃคฅฆง View Post
2. จงหา $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องกับ

$1) \quad |f(0)| < |f(1)|$

$2) \quad f(x^3) = (f(x))^3$

$3) \quad f\left(\dfrac{x+y}{2} \right) = \dfrac{f(x) + f(y)}{2}$
1.พิสูจน์ว่าสอดคล้องโคชี

2.แทน x ด้วย x+1 ใน 2)

3.พิสูจน์ว่าเป็นทางเดียว

4.จบแล้ว
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #24  
Old 23 พฤษภาคม 2015, 16:43
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

ข้ออสมการของผม ลองแยกตัวประกอบ $\displaystyle{\sum_{cyc}} bc(b-c)$ ดู แล้วจะพบ identity อะไรบางอย่าง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #25  
Old 24 พฤษภาคม 2015, 14:39
FranceZii Siriseth's Avatar
FranceZii Siriseth FranceZii Siriseth ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 พฤษภาคม 2013
ข้อความ: 344
FranceZii Siriseth is on a distinguished road
Default

Let $M$ be a point on the diameter $AB$ of semi-circle $O$. The perpendicular at $M $ meets the semi-circle at point $P$ .A circle inside $O$ touches and is tangent to $PM$ at $Q$ and $AM$ at $R$ .Show that $PB=RB$

ผมทำแบบนี้ จากจุด $R$ ลากเส้นตรงตั้งฉาก $RB$ พบ $PA$ ที่ $N$

ได้ว่า $PBRN$ cyclic โดยมี $RN$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง นั่นคือ $RN$ แบ่งครึ่ง $PB$ ที่จุด $X$

$\triangle PRX \cong \triangle BXR$

มีตรงไหนผิดพลาดหรือเปล่าครับ
__________________
Hope is what makes us strong.
It's why we are here.
It is what we fight with when all else is lost.

25 พฤษภาคม 2015 22:21 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ FranceZii Siriseth
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #26  
Old 24 พฤษภาคม 2015, 22:05
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

Pre-TMO Combi ครับ

1. ให้ $(a_1,a_2,...,a_{20})$ เป็นลำดับของจำนวนเต็มบวก ให้ $m$ เป็นจำนวนของ $(a_i,a_j,a_k)$ ซึ่ง $1 \le i < j < k \le 20$ และ $a_j=a_i+1$, $a_k=a_j+1$ จงหาค่าที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของ $m$

2. นรินมีป้ายตัวเลขอยู่ $2n \ (n \ge 1)$ ป้าย เขียนตัวเลขต่างกันทั้งหมด นรันจะอ่านป้ายแล้วเลือกตัวเลขหนึ่งมา จากนั้นทั้งคู่จะเล่นเกมต่อไปนี้ ในแต่ละวินาทีนรินจะชูแผ่นป้าย $n$ แผ่นให้นรันดูแล้วถามนรันว่าตัวเลขที่นรันเลือกอยู่ในแผ่นป้ายเหล่านี้หรือไม่

จงพิสูจน์ว่านรินจะมีวิธีที่จะสามารถรู้ได้เสมอว่านรันเลือกตัวเลขอะไรภายในวินาทีที่ $k \ (k \ge 1)$ ก็ต่อเมื่อ $n \le 2^{k-1}$

3. ในการแข่งขันปิงปองแบบพบกันหมดโดยแต่ละคู่แข่งกัน $1$ ครั้ง กำหนดให้มีผู้เข้าแข่งขัน $n$ คน สำหรับคนที่ $i,j$, $1 \le i < j \le n$ กำหนดให้ $W(i,j)$ แทนจำนวนคนที่ทั้งคู่ชนะในการแข่งนี้ และ $L(i,j)$ แทนจำนวนคนที่ทั้งคู่แพ้ในการแข่งนี้ จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle \sum_{1 \le i <j \le n} W(i,j)=\sum_{1 \le i <j \le n} L(i,j)$
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้

24 พฤษภาคม 2015 22:19 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #27  
Old 25 พฤษภาคม 2015, 19:30
กขฃคฅฆง's Avatar
กขฃคฅฆง กขฃคฅฆง ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 เมษายน 2015
ข้อความ: 419
กขฃคฅฆง is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila View Post
ลองเอาโจทย์ง่ายๆไปลับคมทักษะสำคัญๆก่อนนะครับ

โจทย์วิชาอื่นๆ ที่ยากขึ้นไปเป็นขั้นๆ เดี๋ยวจะทยอยโพสต์มา พร้อม Hint+Routine Proof
--------------------------------------------------------
Warm Up Angle Chasing (1-9) Length Chasing (10)


3.AB เป็นคอร์ดของวงกลมศูนย์กลางที่ O และ P เป็นจุดบน AB ต่อ AP พบเส้นผ่านศูนย์กลาง
ซึ่งตั้งฉากกับคอร์ด AB ที่ M พิสูจน์ BOPM เป็น concyclic
งงข้อนี้ครับ BOPM เป็นสามเหลี่ยมไม่ใช่เหรอครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #28  
Old 25 พฤษภาคม 2015, 19:54
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กขฃคฅฆง View Post
งงข้อนี้ครับ BOPM เป็นสามเหลี่ยมไม่ใช่เหรอครับ
ส่วนโค้ง AB ครับ ขอโทษนะครับ ตกคำว่าส่วนโค้งไป

(เท่ากับว่า P เป็นจุดบนวงกลมนั่นเอง)

ปล.โจทย์ง่ายถึงง่ายมากครับ เป็นแค่โจทย์แบบฝึกหัดไว้ warm up เฉยๆ

จะได้ฝึก chase มุมได้ไวๆขึ้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #29  
Old 25 พฤษภาคม 2015, 20:34
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ FranceZii Siriseth View Post
Let $M$ be a point on the diameter $AB$ of semi-circle $O$. The perpendicular at $M $ meets the semi-circle at point $P$ .A circle inside $O$ touches and is tangent to $PM$ at $Q$ and $AM$ at $R$ .Show that $PB=RB$

ผมทำแบบนี้ จากจุด $B$ ลากเส้นตรงตั้งฉาก $RB$ พบ $PA$ ที่ $N$

ได้ว่า $PRBN$ cyclic โดยมี $RN$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง นั่นคือ $RN$ แบ่งครึ่ง $PB$ ที่จุด $X$

$\triangle PRX \cong \triangle BXR$

มีตรงไหนผิดพลาดหรือเปล่าครับ
ลองเชคตรงนี้ดูอีกทีครับ ผมวาดดูแล้ว NPB เป็นมุมฉากนะครับ

ลองดูเทียบกับ NRB อีกทีครับ

2 มุมนี้ไม่น่าจะเท่ากัน
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #30  
Old 25 พฤษภาคม 2015, 22:21
FranceZii Siriseth's Avatar
FranceZii Siriseth FranceZii Siriseth ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 พฤษภาคม 2013
ข้อความ: 344
FranceZii Siriseth is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila View Post
ลองเชคตรงนี้ดูอีกทีครับ ผมวาดดูแล้ว NPB เป็นมุมฉากนะครับ

ลองดูเทียบกับ NRB อีกทีครับ

2 มุมนี้ไม่น่าจะเท่ากัน
้ขอโทษครับ พิมพ์ผิดไปนิดหน่อย จากจุด $R$ ลากเส้นตรง จากเส้นตรงตั้งฉาก $RB$ พบ $PA$ ที่จุด $N$

สี่เหลี่ยม $PBRN$ cyclic ครับ ผมคิดว่าน่าจะผิดตรงที่ยังไม่ได้แสดงว่า $BN$ ตั้งฉากกับ $PR$ ครับ รบกวนคณ Aqulia อีกแรงนะครับ
__________________
Hope is what makes us strong.
It's why we are here.
It is what we fight with when all else is lost.

25 พฤษภาคม 2015 22:50 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ FranceZii Siriseth
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 22:12


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha