คิคให้หน่อยครับ

หาค่าของ cot 10 * cot 30 * cot 50 * cot 70 (หมายเหตุ: ตัวเลขมีหน่วยเป็นองศา และทั้ง 4 เทอมคูณกัน)

[nooonuii]

มีโจทย์เก่าๆให้ทำอีกเยอะเลยครับ ไม่มีใครอยากทำกันเหรอ

[mercedesbenz]

ตอนแรกจัดรูปให้อยู่ในรูป $\cot 10 \cot 30 \cot 50 \cot 70=\frac{\cos 10 \cos 30 \cos 50 \cos 70}{\sin 10 \sin 30 \sin 50 \sin 70}$ เราจะใช้เอกลักษ์ที่ว่า
$\cos A\cos b =\frac{1}{2}(\cos(A+B)+cos(A-B))$
เนื่องจาก

$$\begin{array}
\cos 10\cos 50 \cos 70&=&\cos 10\frac{1}{2}(\cos 120+\cos 20)\\
&=&\frac{\cos 10 \cos 120}{2}+\frac{\cos 10\cos 20}{2}\\
&=&-\frac{\cos 10}{\cos 60}+\frac{1}{4}(\cos 30+\cos 10)\\
&=&-\frac{\cos 10}{4}+\frac{\cos 30}{4}+\frac{\cos 10}{4}\\
&=&\frac{\sqrt{3}}{8}
\end{array}$$
ดังนั้น $\cos 10 \cos 30 \cos 50 \cos 70=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{3}}{8}=\frac{3}{16}$

เราสามารถหาค่า${\sin 10 \sin 30 \sin 50 \sin 70}$ โดยเปลี่ยนเป็น $\cos 70 \cos 60 \cos 40 \cos 20 $ แล้วหาโดยวิธีเดียวกันกับ $\cos 10 \cos 30 \cos 50 \cos 70$จะได้
$\cos 70 \cos 60 \cos 40 \cos 20=\frac{\sqrt{3}}{16}$

ดังนั้นก็เอามาหารกัน จะได้$\cot 10 \cot 30 \cot 50 \cot 70=\sqrt{3}$

[Mathophile]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mercedesbenz

เราสามารถหาค่า${\sin 10 \sin 30 \sin 50 \sin 70}$ โดยเปลี่ยนเป็น $\cos 70 \cos 60 \cos 40 \cos 20 $

มันต้องเป็น $\cos 80^\circ \cos 60^\circ \cos 40^\circ \cos 20^\circ = \frac{1}{8}$ ไม่ใช่หรอครับ

[mercedesbenz]

ใช่แล้วครับ ผมผิดเอง$\cos 80\cos 60\cos40 \cos20 =\frac{1}{8}$
ดังนั้นคำตอบคือ $\cot 10\cot 30\cot 50 \cot 70 =\frac{\sqrt{3}}{8}\frac{8}{1}=\sqrt{3}$
ขอบคุณมากๆ เลยนะครับคุณ Mathophile