พิสูจน์แล้ว ทำไม่ได้

[ครูนะ]

ให้ f:Z→G กำหนดโดย f(n) = a^n
เมื่อ a ไม่เท่ากับ e เป็นสมาชิกคงตัวใน G จงพิสูจน์ว่า f เป็นสาทิสสัณฐาน

และจงหา f(Z) และ ker(f)


พิสูจน์ว่า f เป็น homomorphism ไม่ยากครับ ไล่นิยามได้

f(Z) = <a>

Ker(f) = <o(a)>

เมื่อ o(a) = order ของ a

ลองดูก่อนครับ ถ้าติดตรงไหนเดี๋ยวมาต่อให้

1. มันไม่ homomorphism เพราะ f(x)*f(y) = a^x*a^y = a^(x + y) ซึ่งไม่เท่ากับ a^xy = f(x*y) จริงๆ มันเป็นยังไงแน่ครับ ผมไม่ได้จริงๆ

2. ผมพิสูจน์ f(z) = <a> และ Ker(f) = <o(a)> ไม่ได้ครับ ยิ่งต้องมาคิดกรณีเป็นจำนวนอนันต์ ยิ่งแทบเป็นลม ทำไม่ได้จริงๆ ครับ

รบกวนคุณ NOOONUII ช่วยผมด้วยครับ ผมใกล้สอบแล้วจริงๆ เดือนตุลาคมนี้ผมต้องตายแน่ๆ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูนะ

ให้ f:Z→G กำหนดโดย f(n) = a^n
เมื่อ a ไม่เท่ากับ e เป็นสมาชิกคงตัวใน G จงพิสูจน์ว่า f เป็นสาทิสสัณฐาน

และจงหา f(Z) และ ker(f)


พิสูจน์ว่า f เป็น homomorphism ไม่ยากครับ ไล่นิยามได้

f(Z) = <a>

Ker(f) = <o(a)>

เมื่อ o(a) = order ของ a

ลองดูก่อนครับ ถ้าติดตรงไหนเดี๋ยวมาต่อให้

1. มันไม่ homomorphism เพราะ f(x)*f(y) = a^x*a^y = a^(x + y) ซึ่งไม่เท่ากับ a^xy = f(x*y) จริงๆ มันเป็นยังไงแน่ครับ ผมไม่ได้จริงๆ

2. ผมพิสูจน์ f(z) = <a> และ Ker(f) = <o(a)> ไม่ได้ครับ ยิ่งต้องมาคิดกรณีเป็นจำนวนอนันต์ ยิ่งแทบเป็นลม ทำไม่ได้จริงๆ ครับ

รบกวนคุณ NOOONUII ช่วยผมด้วยครับ ผมใกล้สอบแล้วจริงๆ เดือนตุลาคมนี้ผมต้องตายแน่ๆ

1. Because $x,y\in\mathbb{Z}$, $x*y=x+y$ and $x*y\neq xy$ because the group operation is addition

2. $f(\mathbb{Z})=\{...,a^{-1},a^0,a^1,a^2,...\}=<a>$

If $n\in Ker(f)$ then $f(n)=e$

$a^n=e$.

Thus $n=ko(a)$ for some $k\in\mathbb{Z}$

[ครูนะ]

เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณมากจริงๆ