Equivalent Norm on L2

[M@gpie]

มีเรื่องรบกวนครับประเด็นหลักๆอยู่ที่ตอน proof ครับแต่ก่อนอื่น

นิยาม นอร์มสมมูล

เราจะกล่าวว่า $\| \cdot \|_1$ และ $\| \cdot \|_2$ ที่นิยามบนปริภูมิเวกเตอร์ $X$ สมมูลกันก็ต่อเมื่อ มีจำนวนจริง $\alpha, \beta$ ที่ทำให้
\[ \alpha \| x \|_1 \leq \|x\|_2 \leq \beta \| x \|_1, \quad \; \; \forall x \in X \]

และกำลังจะอ้างว่านอร์มบน $L_2(0,1)$ และนิยามผลคูณภายใน $\displaystyle{ \langle f, g \rangle = \int_0^1f(t)\overline{g(t)} dt } $
สมมูลกับนอร์มต่อไปนี้
\[ \| z \| = \; \; \mid \int_0^1z(s)ds\mid^2 \; \; + \; \; 2 \sum_{n=1}^{\infty}\mid \int_0^1 z(s)\cos (n\pi s) ds \mid ^2 \]

ก่อนอื่นให้ $z\in L_2(0,1)$ ซึ่ง $z$ ที่มีค่าเป็นจำนวนจริง
โดยเลือกใช้ orthonormal basis เป็น $e_n = e^{jn\pi s}, \forall n \in \mathbb{N}$
ใช้คุณสมบัติ parseval จะได้ว่า
\[ \| z \|_{L_2(0,1)} = \; \; \sum_{n=-\infty}^{\infty}\mid \langle z, e_n \rangle \mid ^2 = \mid \langle z, e_0 \rangle \mid + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \mid \langle z, e_n \rangle \mid ^2 +\mid \langle z, e_{-n} \rangle \mid ^2 \right]\]
แทนค่าตามสูตรจะได้ว่า
\[\|z\|_{L_2(0,1)} = \; \mid \int_0^1z(s)ds\mid^2 \; \; + \; \; \sum_{n=1}^{\infty} \left[\mid \int_0^1 z(s)e^{jn\pi s} ds \mid ^2 + \mid \int_0^1 z(s)e^{- jn\pi s} ds \mid ^2 \right] \]
\[ \leq \; \; \; \mid \int_0^1z(s)ds\mid^2 \; \; + \; \; \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \mid \int_0^1 z(s)e^{jn\pi s} ds \mid ^2 +2 \int_0^1z(s)e^{jn\pi s}ds \int_0^1z(s)e^{-jn\pi s}ds + \mid \int_0^1 z(s)e^{- jn\pi s} ds \mid ^2 \; \right] \]
\[ = \; \mid \int_0^1z(s)ds\mid^2 \; \; + \; \; \sum_{n=1}^{\infty} \mid \int_0^1 z(s)e^{jn\pi s} ds + \int_0^1z(s)e^{-jn\pi s} ds \mid ^2 \]
\[ \leq \; 2 \mid \int_0^1z(s)ds\mid^2 \; \; + \; \; 4 \sum_{n=1}^{\infty} \mid \int_0^1 z(s)\cos (n\pi s) ds\mid ^2 \]
ดังนั้น
\[ \|z\|_{L_2(0,1)} \leq 2 \left( \; \mid \int_0^1z(s)ds\mid^2 \; \; + \; \; 2 \sum_{n=1}^{\infty} \mid \int_0^1 z(s)\cos (n\pi s) ds\mid ^2 \right) = 2\| z \|\] จากนิยามนอร์มสมมูลฝั่งขวาสำเร็จ แต่ฝั่งซ้ายยังหาวิธีไปไม่ได้เลยครับ พี่ๆน้องๆหรือผู้รู้ท่านใดเห็นว่าที่ผมทำมีข้อผิดพลาด หรือมีอสมการเด็ดๆในการทำฝังซ้าย ก็ขอแนะนำด้วย ครับ

[M@gpie]

วิธีการฝั่งซ้ายมาแล้วครับ
\[ \begin{array}{ccl}
\|z\| & = & \displaystyle{ \mid \int_0^1z(s)ds \mid^2 + 2\sum_{n=1}^{\infty}\mid \int_0^1 z(s)\left( \frac{e^{jn\pi s} +e^{-jn\pi s}}{2} \right) ds \mid ^2 } \\
& = & \displaystyle{ \mid \int_0^1z(s)ds \mid^2 + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\mid \int_0^1 z(s) e^{jn\pi s} ds + \int_0^1 z(s)e^{-jn\pi s}ds \mid ^2 } \\
& \leq &\displaystyle{ \mid \int_0^1z(s)ds \mid^2 + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} ( \mid \int_0^1 z(s) e^{jn\pi s} ds\mid^2 + 2 \mid \int_0^1 z(s) e^{jn\pi s} ds \mid \mid \int_0^1 z(s) e^{-jn\pi s} ds\mid } \\
& & \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \displaystyle{ + \mid \int_0^1 z(s)e^{-jn\pi s}ds \mid ^2 ) } \\
& \leq &\displaystyle{ \mid \int_0^1z(s)ds \mid^2 + \sum_{n=1}^{\infty} ( \mid \int_0^1 z(s) e^{jn\pi s} ds \mid^2 + \mid \int_0^1 z(s) e^{-jn\pi s} ds\mid^2 ) } \\
& = &\| z \|_{L_2(0,1)}
\end{array} \]