#1
|
|||
|
|||
เชิงซ้อนช่วยที
กําหนดให้ ${x}_{1}$ ${x}_{2}$ ${x}_{3}$ ${x}_{4}$ เป๊นคําตอบของสมการ
x^4 - 7x^3 +14x^2 -7x +1 = 0 $\sqrt{(({x}_{1})^4+1)(({x}_{2})^4+1)(({x}_{3})^4+1)(({x}_{4})^4+1)}$ รูทยาวถึงตัวท้ายนะ มีค่าเท่าใด 04 มิถุนายน 2012 14:28 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 9 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ powerboom |
#2
|
||||
|
||||
กําหนดให้ $x_1,x_2,x_3,x_4$ เป็นคําตอบของสมการ
$x^4 - 7x^3 +14x^2 -7x +1 = 0$ $\sqrt{(x_1^4+1)(x_2^4+1)(x_3^4+1)(x_4^4+1)} $ โจทย์น่าจะเป็นอย่างนี้หรือเปล่าครับ ลองดูจากตรงนี้ครับ $x^4+1=7x^3-14x^2+7x=7x(x-1)^2$ $\sqrt{(x_1^4+1)(x_2^4+1)(x_3^4+1)(x_4^4+1)} $ $=\sqrt{(7^4)(x_1x_2x_3x_4)(x_1-1)^2(x_2-1)^2(x_3-1)^2(x_4-1)^2} $ $=49\sqrt{x_1x_2x_3x_4}\left|\,(x_1-1)\right| \left|\,(x_2-1)\right| \left|\,x_3-1\right| \left|\,x_4-1\right| $ $x_1x_2x_3x_4=1$ $\left|\,(x_1-1)\right| \left|\,(x_2-1)\right| \left|\,x_3-1\right| \left|\,x_4-1\right|$ $=\left|\,(x_1-1)(x_2-1)(x_3-1)(x_4-1)\right| $ $=\left|\,(x_1x_2+x_3x_4+x_1+x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4)-(x_1x_2x_3+x_2x_3x_4+x_1x_3x_4+x_1x_2x_4)-(x_1+x_2+x_3+x_4)+x_1x_2x_3x_4+1\right| $ เรารู้ทุกค่าโดยดูจากสมการที่กำหนด $x_1+x_2+x_3+x_4=7$ $x_1x_2+x_3x_4+x_1+x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4=14$ $x_1x_2x_3+x_2x_3x_4+x_1x_3x_4+x_1x_2x_4=7$ จะได้ว่า $=\left|\,14-7-7+1+1\right| =2 $ $\sqrt{(x_1^4+1)(x_2^4+1)(x_3^4+1)(x_4^4+1)} $ $=49\times 2=98$.......ไม่มีใครท้วงว่าคูณผิดจาก $49\times 2=58$.....ดีนะเห็นเองก่อน ไม่จำเป็นต้องแก้สมการหาจำนวนเชิงซ้อนทีละค่าก็ได้ครับ ถ้าต้องการแก้เดี๋ยวทำให้ดูก็ได้ครับ แต่ต้องรู้เรื่องความสัมพันธ์ของรากสมการกับสัมประสิทธิ์ของแต่พจน์ในสมการครับ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 05 มิถุนายน 2012 10:16 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#3
|
||||
|
||||
ข้อนี้ ถึกมากครับ เหนื่อยผมทำแบบคุณกิตติอ่ะครับ
ใครมีวิธีอื่นเสนอ ได้บ้างครับ |
#4
|
||||
|
||||
ลองทำให้ดูวิธีแก้สมการ สมการที่โจทย์กำหนดให้นั้นเป็นสมการสมมาตรลองดูสัมประสิทธิ์ที่เรียงจากพจน์แรกมาถึงพจน์หลัง คือ
1 -7 14 -7 1.....โดยมีเลข 14 เป็นแกน ลองหาอ่านเรื่องสมการพหุนามแบบสมมาตร ถ้าเห็นแบบนี้ปุ๊ป เราเอาพจน์ $x$ ที่อยู่ตรงกลางหารทั้งสมการ แต่ $x\not= 0$ $x^4 - 7x^3 +14x^2 -7x +1 = 0$ $x^2-7x+14-\frac{7}{x}+\frac{1}{x^2}=0 $ จัดพจน์ $\left(\,x^2+\frac{1}{x^2}+2\right)-7\left(\,x+\frac{1}{x}\right)+12=0 $ ให้ $x+\frac{1}{x}=A$ $A^2-7A+12=0$ $(A-4)(A-3)=0$ $A=3,4$ จะได้ว่า $x^2-4x+1=0$ กับ $x^2-3x+1=0$ แก้สมการได้ $x=2\pm \sqrt{3},\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{5} }{2} $ เอาไปยกกำลังสี่แต่ละพจน์จนหา $x^4+1$ ให้ครบทั้ง4จำนวน.....ใครว่าวิธีแรกถึกแล้ว วิธีที่หาจากคำตอบโดยตรงไม่ยิ่งโค-ตรถึกเหรอครับ ๕๕๕๕๕.....ใครอยากพิสูจน์ว่าคำตอบตรงกันก็เชิญได้เลยครับ สำหรับผม ผมคิดว่าผมโอเคกับวิธีคิดวิธีแรกแล้วครับ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#5
|
|||
|
|||
แก้ธรรมดาได้ด้วยหรอ-0-
|
#6
|
||||
|
||||
เพิ่มเติมวิธีแรกของคุณกิตติครับ
เราอยากหาค่าของ $(x_1-1)(x_2-1)(x_3-1)(x_4-1)$ สังเกตว่า $x^4 - 7x^3 +14x^2 -7x +1 =(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$ แทน x ด้วย 1 ครับ ได้ $1-7+14-7+1=(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)(1-x_4)$ ดังนั้น $(x_1-1)(x_2-1)(x_3-1)(x_4-1)=(1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)(1-x_4)=2$ |
#7
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
และผมเคยบอกคุณหมอในกระทู้นั้นว่า $\sqrt{Z^2} \not= \left|Z\right| $ คุณหมอคงลืม ดังนั้นทำต่อ โดยเปลี่ยนเป็นค่าสัมบูรณ์ ไม่ได้ครับ |
#8
|
||||
|
||||
นั่นนะสิ มันเลยคุ้นๆ ถ้าอย่างนั้นก็แก้เสียว่า $(x_1-1)(x_2-1)(x_3-1)(x_4-1)=2$
ดังนั้น $(x_1-1)^2(x_2-1)^2(x_3-1)^2(x_4-1)^2=4$ จะได้ว่า $\sqrt{(x_1-1)^2(x_2-1)^2(x_3-1)^2(x_4-1)^2}=2 $ อย่างนี้คงมิเป็นไร นะครับพี่เล็ก ขอบคุณคุณOnasdi ผมหลงลืมวิธีเช่นนี้ได้เสียกระไร กำลังดูขุนศึกเลยติดสำนวนมา คงมิว่ากระไรดอกนะท่าน
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#9
|
||||
|
||||
$x^2-4x+1=0$ กับ $x^2-3x+1=0$
กำหนดให้ $x_1,x_2$ เป็นรากจากสมการ $x^2-4x+1=0$ และ $x_3,x_4$ เป็นรากจากสมการ $x^2-3x+1=0$ $x^2+1=4x \rightarrow (x^2+1)^2=16x^2$ $x^4+2x^2+1=16x^2 \rightarrow x^4+1=14x^2$ ดังนั้นเราจะได้ว่า $x_1^4+1=14x_1^2$ และ $x_2^4+1=14x_2^2$ $x^2-3x+1=0 \rightarrow x^4+1=7x^2$ ดังนั้นเราจะได้ว่า $x_3^4+1=7x_3^2$ และ $x_4^4+1=7x_4^2$ $\sqrt{(x_1^4+1)(x_2^4+1)(x_3^4+1)(x_4^4+1)} $ $=\sqrt{14^27^2(x_1x_2x_3x_4)^2} $ $x_1x_2x_3x_4=1$ $=\sqrt{14^27^2} $ $=98$ อีกวิธีหนึ่งที่หลบจากความถึกต่อยอดจากที่ทำค้างไว้โดยไม่ต้องหากำลังสี่ของจำนวนเชิงซ้อนของทั้งสี่จำนวน
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#10
|
||||
|
||||
โอ้ สุดยอดครับ
|
#11
|
||||
|
||||
คุณหมอหลบถึกจนได้
เป็นการสอนให้น้อง ๆ รู้ว่า "ความพยายามอยู่ที่ไหน ความพยายามอยู่ที่นั่น" และเป็นการเสริมคำพูดของท่าน nooonuii |
#12
|
||||
|
||||
สุดยอดเลยครับคุณหมอกิตติ ขอจำไว้ใช้บ้างนะครับ
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
|
|