ช่วย พิสูจน์ ปัญหาต่างๆ วิชา Complex Analysis ทีครับ

[Tzenith]

1.show that if $\sum_{n = 0}^{\infty} $ $Z_n$ is a complex series with $lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\left|\,Z_{n+1}\right| }{\left|\,Z_n\right| } = L$ , then the series absolutely convergent if $L<1$

2.Show that if $\sum_{n = 0}^{\infty} \left|\,Z_n \right| $ converges then $\left|\,\sum_{n = 0}^{\infty}Z_n \right| \leqslant \sum_{n = 0}^{\infty} \left|\,Z_n\right| $

3.Show that the equation $Arg(z_1 z_2) = Arg(z_1) + Arg(z_2) $ is true if $\frac{-\pi }{2} < Arg(z_1) \leqslant \frac{\pi }{2} $ and $\frac{-\pi }{2} < Arg(z_2) \leqslant \frac{\pi }{2}$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Tzenith

1.show that if $\sum_{n = 0}^{\infty} $ $Z_n$ is a complex series with $lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\left|\,Z_{n+1}\right| }{\left|\,Z_n\right| } = L$ , then the series absolutely convergent if $L<1$

2.Show that if $\sum_{n = 0}^{\infty} \left|\,Z_n \right| $ converges then $\left|\,\sum_{n = 0}^{\infty}Z_n \right| \leqslant \sum_{n = 0}^{\infty} \left|\,Z_n\right| $

3.Show that the equation $Arg(z_1 z_2) = Arg(z_1) + Arg(z_2) $ is true if $\frac{-\pi }{2} < Arg(z_1) \leqslant \frac{\pi }{2} $ and $\frac{-\pi }{2} < Arg(z_2) \leqslant \frac{\pi }{2}$

ข้อแรก มีอยู่ในหนังสือ complex analysis ทั่วไปครับ ถ้าหาไม่เจอลองหาจากคำว่า ratio test ก็น่าจะเจอ

ข้อสอง ให้ $S_n=Z_1+\cdots + Z_n$, $T_n=|Z_1|+\cdots+ |Z_n|$

โดย Triangle inequality จะได้ว่า $|S_n|\leq T_n$

ให้ $n\to\infty$ จะได้ว่า

$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}|S_n|\leq \lim_{n\to\infty}T_n}$

$\displaystyle{|\lim_{n\to\infty}S_n|\leq \lim_{n\to\infty}T_n}$

ที่เหลือลองต่อดูครับ อีกนิดเดียว

ข้อสาม ให้ $z_1=r_1e^{i\alpha},z_2=r_2e^{i\beta}$

$z_1z_2=r_1r_2e^{i(\alpha+\beta)}$

ถ้ารู้จักความหมายของคำว่า Argument ก็คงหาข้อสรุปได้ไม่ยากครับ