Vert very Easy

[Anonymous314]

Find all positive integer $t$ such that
$t,a,b>1$ and $2^t=a^b-1$ or $2^t=a^b+1$

[LightLucifer]

งง เลยครับผม ไม่เทพพอ เหอะๆๆ

[MirRor]

ถ้านายงงแล้ว เราก็คงไม่ต้องคิดมันแล้วล่ะ อ๊ากกกๆๆ

[[SIL]]

คุณ Anonymous314 ปกติเล่นบอร์ดเทพ(EX. : NT IE)มิใช่หรือครับ
ปล. ทีแรกนึกว่าคุณ Anonymous314 ชื่นชอบนักคณิตศาสตร์ที่ค้นพบจำนวนเฉพาะที่แท้หมายถึงไม่ออกนามนี่เอง TT

[Anonymous314]

นี่มันโจทย์จาก IMC ที่เขาเพิ่งแข่งกันไปครับ
ปล.ผมชอบเลข ม.ต้นครับ แต่ผมชอบสะเพร่าอยู่บ่อย ๆ เวลาแข่งที่ไหนก็ไม่ค่อยจะได้ดีครับ
ปล. ตอนนี้ผมอยู่ ม.ต้นนะครับ

[MirRor]

$2^{2t} = a^{2b} - 1$
$2^{2t}$ - 2$a^b$ = $(a+1)^2$




I ma took tang หรือเปล่า

[The jumpers]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MirRor

$2^{2t} = a^{2b} - 1$
$2^{2t}$ - 2$a^b$ = $(a+1)^2$




I ma took tang หรือเปล่า

ไม่รู้นะครับเเต่ผมคิดว่า $2^t=a^b+1$ กับ $2^t=a^b-1$ เกิดขึ้นพร้อมกันไม่ได้
$\therefore $ จึงไม่สามารถนำมาคูณกันได้(มั้ง...)

[LightLucifer]

ผมคิดเหมือนคุณ The jumpers ครับ

[[SIL]]

แต่ผมรู้สึกเหมือนมีข้อคล้ายๆข้อนี้อ่ะครับ ทั้งสองกรณีสอดคล้องกัน รู้สึกเป็นโจทย์ของคุณ spatanus อ่ะครับ ให้พิสูจน์ว่ามีจริง
ถ้าผิดขอประทานโทษด้วยนะครับ

[MirRor]

มาเฉลยม้างดิ จะเน่าอยู่แล้ว

[Hirokana]

ขอขุดกระทู้ด้วยคนครับ อยากรู้แนวคิด

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Hirokana

ขอขุดกระทู้ด้วยคนครับ อยากรู้แนวคิด

ผมพอจะทำได้นะ ถึงวิธีมันจะไม่สร้างสรรค์ แต่ก็เอาเถอะ

สังเกตุว่า $a$ เป็นจำนวนคี่

Case1 $b$ เป็นจำนวนคู่

ให้ $b=2b_1$
1.) $2^t=a^{2b_1}-1=(a^{b_1}-1)(a^{b_1}+1)$
จะได้ว่ามี $x,y \in \mathbb{\mathbb{Z} }$ ซึ่ง $x,y \ge 0,x+y=t$
และ $a^{b_1}-1=2^x,a^{b_1}+1=2^y$
จะได้ $2=2^y-2^x=2^x(2^{y-x}-1)$
จะได้ว่า $x=1,y=2$
นั่นคือ $a=3,b=2,t=3$

2.) $2^t=a^{2b_1}+1$
ถ้า $t>1$ จะได้ว่า $4|L.H.S.$ แต่ $R.H.S.=a^{2b_1}+1 \equiv 1,2 \pmod{4}$
ดังนั้น กรณีนี้ไม่มีคำตอบ

Case2 $b$ เป็นจำนวนคี่

ให้ $b=2b_1$
1.) $2^t=a^{2b_1+1}-1=(a-1)(a^{2b_1}+a^{2b_1-1}+...+a+1)$
สังเกตุว่า $a^{2b_1}+a^{2b_1-1}+...+a+1$ มี $a^k$ อยู่ $2b_1$ ตัว
จะได้ว่า $a^{2b_1}+a^{2b_1-1}+...+a+1$ เป็นจำนวนคี่
นั่นคือ $a^{2b_1}+a^{2b_1-1}+...+a+1=1$
$a=0$
ดังนั้นกรณีนี้ไม่มีคำตอบ

2.) $2^t=a^{2b_1+1}+1=(a+1)(a^{2b_1}-a^{2b_1-1}+...-a+1)$
สังเกตุว่า $a^{2b_1}-a^{2b_1-1}+...-a+1$ มี $a^k$ อยู่ $2b_1$ ตัว
จะได้ว่า $a^{2b_1}-a^{2b_1-1}+...-a+1$ เป็นจำนวนคี่
นั่นคือ $a^{2b_1}-a^{2b_1-1}+...-a+1=1$
$a(a-1)(a^{2b_2-2}+a^{2b_2-4}+...+a^2+1)=0$
$a=0,1$
ดังนั้นกรณีนี้ไม่มีคำตอบ

$\therefore a=3,b=2,t=3$ only!

[Hirokana]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ผมพอจะทำได้นะ ถึงวิธีมันจะไม่สร้างสรรค์ แต่ก็เอาเถอะ

สังเกตุว่า $a$ เป็นจำนวนคี่

Case1 $b$ เป็นจำนวนคู่

ให้ $b=2b_1$
1.) $2^t=a^{2b_1}-1=(a^{b_1}-1)(a^{b_1}+1)$
จะได้ว่ามี $x,y \in \mathbb{\mathbb{Z} }$ ซึ่ง $x,y \ge 0,x+y=t$
และ $a^{b_1}-1=2^x,a^{b_1}+1=2^y$
จะได้ $2=2^y-2^x=2^x(2^{y-x}-1)$
จะได้ว่า $x=1,y=2$
นั่นคือ $a=3,b=2,t=3$

2.) $2^t=a^{2b_1}+1$
ถ้า $t>1$ จะได้ว่า $4|L.H.S.$ แต่ $R.H.S.=a^{2b_1}+1 \equiv 1,2 \pmod{4}$
ดังนั้น กรณีนี้ไม่มีคำตอบ

Case2 $b$ เป็นจำนวนคี่

ให้ $b=2b_1$
1.) $2^t=a^{2b_1+1}-1=(a-1)(a^{2b_1}+a^{2b_1-1}+...+a+1)$
สังเกตุว่า $a^{2b_1}+a^{2b_1-1}+...+a+1$ มี $a^k$ อยู่ $2b_1$ ตัว
จะได้ว่า $a^{2b_1}+a^{2b_1-1}+...+a+1$ เป็นจำนวนคี่
นั่นคือ $a^{2b_1}+a^{2b_1-1}+...+a+1=1$
$a=0$
ดังนั้นกรณีนี้ไม่มีคำตอบ

2.) $2^t=a^{2b_1+1}+1=(a+1)(a^{2b_1}-a^{2b_1-1}+...-a+1)$
สังเกตุว่า $a^{2b_1}-a^{2b_1-1}+...-a+1$ มี $a^k$ อยู่ $2b_1$ ตัว
จะได้ว่า $a^{2b_1}-a^{2b_1-1}+...-a+1$ เป็นจำนวนคี่
นั่นคือ $a^{2b_1}-a^{2b_1-1}+...-a+1=1$
$a(a-1)(a^{2b_2-2}+a^{2b_2-4}+...+a^2+1)=0$
$a=0,1$
ดังนั้นกรณีนี้ไม่มีคำตอบ

$\therefore a=3,b=2,t=3$ only!

ขอบคุณมากครับ สำหรับแนวคิด ผมคงต้องฝึกคิดให้ได้แบบนี้

[Sky Rock!!!]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Anonymous314

Find all positive integer $t$ such that
$t,a,b>1$ and $2^t=a^b-1$ or $2^t=a^b+1$

โจทย์แนวนี้เป็นโจทย์แนวอะไรเหรอครับ

พอดีไม่ถนัดเลย จะไปฝึก