ลิมิต รบกวนทีครับ

[Pakpoom]

กำหนด$a_n=\sqrt{9n^2+1}+\sqrt{n^2+6n+1}-4n$ ให้หา $\lim_{n \to \infty} a_n$

ถ้า $a_n$ เป็นลำดับเลขคณิตที่สอดคล้องกับ $\lim_{n \to \infty} (\frac{a_n-a_1}{n})=8$ แล้ว $a_6+a_8=100$ จงหาค่าของ $a_{99}$

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pakpoom

กำหนด$a_n=\sqrt{9n^2+1}+\sqrt{n^2+6n+1}-4n$ ให้หา $\lim_{n \to \infty} a_n$

$$a_n = \sqrt{9n^2+1}-3n+\sqrt{n^2+6n+1}-n$$$$= \dfrac{1}{\sqrt{9n^2+1}+3n}+\dfrac{6n+1}{\sqrt{n^2+6n+1}+n}$$$$= \dfrac{\frac{1}{n}}{\sqrt{9+\frac{1}{n^2}}+3}+\dfrac{6+\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{6}{n}+\frac{1}{n^2}}+1}$$$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \dfrac{0}{6}+\dfrac{6}{2}=3$

[Euler-Fermat]

1.$\lim_{n \to \infty}a_n = \sqrt{9n^2+1} +\sqrt{n^2+6n+1} -4n = 3n+n-4n+3 = 3 $
2. $a_n =a_1+(n-1)d $
$\lim_{n \to \infty}(\frac{a_n-a_1}{n}) = 8 $
$\lim_{n \to \infty}(\frac{(n-1)d}{n}) =8 $
$\therefore d=8$
$a_6+a_8 = 100 ......(1)$
$a_8 = a_6 +2d แทนค่าลงไปใน (1)$
$ได้ a_6 = 42$
$a_99 = a_6+93d = 42+744 = 786 $