ช่วยพิสูจน์ให้หน่อยค่ะ

[flossy]

จงพิสูจน์อสมการต่อไปนี้เมื่อ $a>0,b>0,c>0$ และ $d>0$ รวมทั้งแสดงเงื่อนไขที่ทำให้ LHS = RHS

$\left(\frac{b}{a}+\frac{d}{c}\right)$ $\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)$ $\geqslant4$

ขอบคุณมากค่ะ

[robot123]

Hint

ใช้อสมการAM-HM

Solution

โดยอสมการ AM-HM
$$ \frac{\frac{b}{a}+\frac{d}{c}}{2}\geqslant \frac{2}{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}}$$
$$ \Big({\frac{b}{a}+\frac{d}{c}}\Big)\Big({\frac{a}{b}+\frac{c}{d}}\Big) \geqslant 4 $$

[Puriwatt]

ผมใช้วิธีคูณกระจายเข้าไปเลย จะได้รูปอสมการว่า $\frac {bc}{ad} + \frac {ad}{bc} +2 $ ≥ 4 หรือ $\frac {bc}{ad} + \frac {ad}{bc} $ ≥ 2

กำหนดให้ e = $ \frac {bc}{ad} $ แทนลงในอสมการด้านบนจะได้ว่า $e + \frac {1}{e} $ ≥ 2

คูณด้วย e แล้วจัดรูปใหม่จะได้ $e^2 - 2e + 1 $ ≥ 0 หรือ $(e - 1)^2$ ≥ 0 คิดต่อเอาเองนะ

กรณีที่ LHS = RHS : เกิดขึ้นเมื่อ (e - 1) = 0 , ซึ่งก็คือ $ \frac {bc}{ad} $ = e = 1 หรือ bc = ad นั่นเอง