สมาคม ม.ปลาย 50 เต็มๆครับ

[สมชาย]

ข้อ 35. ผมลองใช้เลข 1 - 5 (คิดเสมือนว่ามี 5 คน) คิดแบบตรงๆเลยครับ ลู่เข้า 3 กว่า ๆ
แต่ถ้า 80 คน คงไม่ไหว กำลังพยามหาพจน์ทั่วไปมาใส่ลิมิต แต่ไม่ออก พี่ๆท่านใดมีแนวทาง โปรดเมตตา

[nooonuii]

35. ผมมองให้เป็นลำดับดังนี้ครับ
$a_1=1,a_2=2,...,a_{80}=80,a_{81}=\dfrac{a_1+\cdots+a_{80}}{80},...,a_{n}=\dfrac{a_{n-1}+\cdots +a_{n-80}}{80},...$

[bell18]

ข้อสอบครั้งนี้ท่าทางจะยากมากนะครับ ผ่านไปหลายวันแล้วปกติต้องมีผู้เฉลยเกือบครบทุกข้อแล้ว
แต่คราวนี้เฉลยไปไม่กี่ข้อเอง หรือว่าจะมัวคิดแต่ข้อยากๆกันอยู่ เลยมองข้ามข้อง่ายไป
ผมจะช่วยเฉลยข้อที่อยากทำก่อน ซึ่งก็มีแต่ข้อง่ายๆทั้งนั้นเลย
ตอนที่1 ข้อ1.ค. ข้อ2.ก. ข้อ4.ก. ข้อ5.ง. ข้อ6.ก. ข้อ7.ง. ข้อ8.ข. ข้อ11.ข.
ข้อ12.ค. ข้อ14.ข. ข้อ15.ข. ข้อ16.ค. ข้อ17.ง. ข้อ18.ง. ข้อ19.ก. ข้อ20.ข.
ตอนที่2 ข้อ22. (-1,7/4) ข้อ23. 4/3 ข้อ29. 2150 ข้อ34. 125

[TOP]

ข้อ 35
ผมลองสมมติมีนักเรียนแค่ 2 คน คือหมายเลข 0 กับ 1 ผลที่ได้คือ $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^3 + \cdots = \frac{2}{3}$
สำหรับกรณี 80 คน ผมคาดหวังว่าขอบเขตบนและล่างในแต่ละรอบ จะมีพฤติกรรมเหมือนกับกรณี 2 คนเช่นกัน (คือขอบเขตบนและล่าง จะขยับเข้ามาครึ่งหนึ่งของระยะทางที่เหลือ) นั่นก็คือจะลู่เข้าหาค่า $1 + \frac{2}{3}(80-1) = 53\frac{2}{3}$

ผลจากการตรวจสอบด้วยคอมพิวเตอร์ได้ค่าคงที่นั้นคือ $53\frac{2}{3}$ จริง

[M@gpie]

ข้อ 35. ผมยังคิดวิธีม.ปลายไม่ออกครับ คำตอบพี่ TOP ตรงกับวิธีผมครับใช้ Z-transform ฮ่าฮ่า

[gon]

เข้าใจข้อ 35 แล้วครับ เราสามารถใช้แนวคิดของการหา ตัวยืนยง (invariant) เพื่อแก้ปัญหานี้ได้
เริ่มแรกนิยามลำดับตามแบบที่ nooonuii เขียนไว้นะครับ

จากนั้นพิจารณา
$(*) \quad \Sigma_{i = 1}^{80} ia_{n+i} $
$= 1a_{n+1} + 2a_{n+2} + 3a_{n+3} + ... + 79a_{n+79} + 80a_{n+80}$

แต่ $80a_{n+80} = a_n + a_{n+1} + a_{n+2} + ... + a_{n+79}$

ดังนั้น
$ (*) = 1a_{n+1} + 2a_{n+2} + 3a_{n+3} + ... + 79a_{n+79} + (a_n + a_{n+1} + a_{n+2} + ... + a_{n+79})$

$= a_n + 2a_{n+1} + 3a_{n+2} + ... + 80a_{n+79}$

แล้วไง?

นั่นคือ $\Sigma_{i = 1}^{80} ia_{n+i} = \Sigma_{i = 1}^{80} ia_{n+i - 1}$ เป็นตัวยืนยง

$= .... = a_1 + 2a_2 + ... + 80a_{80} = 1^2 + 2^2 + ... + 80^2$

สมมติว่า $\lim_{n \to \infty} a_n = L$ และให้มีนักเรียน m คน จะได้
$$\frac{m(m+1)}{2}L = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} \iff L = \frac{2m+1}{3}$$
ในที่นี่ m = 80 จะได้ L = 161/3 ซึ่งตรงกับที่ Top ใช้คอมพิวเตอร์ตรวจสอบและใช้เซ้นแบบแปลกๆ

???

(อ๊ะไม่ใช่ ต้องเรียกว่า penultimate step สินะ )

Z-transform ผมไม่เคยอ่านนะครับ ถ้าน้อง M@gpie จะเขียนไว้ก็ดี อาจจะมีคนเข้าใจ

[RoSe-JoKer]

.... ข้อ 35 ลองใช้อุปนัยพิสูจน์ได้ไหมว่าถ้าเป็นกรณีแบบนี้ n คนจะได้ว่าลู่เข้า 2n+1/3

[bell18]

รู้สึกว่าจุดสนใจจะไปอยู่ที่ข้อ 35. นะครับ ข้ออื่นจึงไม่ค่อยมีใครสนใจเฉลย
แต่ว่าผมจะเฉลยคำตอบเพิ่มเติมอีก2ข้อ...
ข้อ3. ให้แทนค่า x ด้วย f(x) จะได้ $g(x) = (f(x))^2$ ตอบข้อ ก.ครับ
ส่วนข้อ10. ตอบ ข. ครับ

[nongtum]

ขอลงคำตอบทิ้งไว้ก่อนนะครับ แล้วจะมาเสริมวิธีทำ หรือมาแก้คำตอบหากมีคนแย้ง หากผมมีเวลาและมีเนตที่หอ(ซะที)
ที่แน่ๆผมคงต้องกลับไปเช็คคำตอบข้อ 28 และข้อ 31 อีกทีครับ

ตอนแรก

1. ค
2. ก
3. ก
4. ก
5. ง
6. ก
7. ง
8. ข
9. ค
10. ง
11. ข
12. ค
13. ค
14. ง
15. ข
16. ข
17. ง
18. ง
19. ก
20. ข

ตอนที่ 2

21. (b+a)/(b-a)
22. (-1,7/4)
23. 4/3
24. $\sqrt3$
25. 1583
26. 2,4,5,6
27. 20000
28. 52/3
29. 2350
30. 2520
31. 216
32. $\displaystyle{\frac{\pi^2\sin\theta}{\pi^2-2\pi\cos\theta+1}}$
33. $\frac14a^2$
34. 125
35. 161/3

[gon]

ข้อ 31 ผมคิดว่าในที่นี้หมายถึงจำนวนตั้งแต่ 1 ล้าน - 9999999 เท่านั้นนะครับ

ซึ่ง ยืนยันว่าคำตอบตรงกับคำตอบของคุณหยินหยาง คือ 216 จำนวน
ซึ่งมาจาก 3 + 24 + 63 + 78 + 39 + 9 = 216

นอกจากนี้ผมยังเขียนโปรแกรมด้วยภาษา C++ อย่างง่ายขึ้นมาเพื่อตรวจสอบความถูกต้องในแต่ละกรณีอีกดังนี้ครับ.

#include <iostream.h>
#include <conio.h>
void main()
{
clrscr();
int count;
count=0;

for(int a=1;a<=2;a++)
for(int b=0;b<=2;b++)
for(int c=0;c<=2;c++)
for(int d=0;d<=2;d++)
for(int e=0;e<=2;e++)
for(int f=0;f<=2;f++)
for(int g=0;g<=2;g++)
if ((a+b+c+d==1)&&(e+f+g==1)) count++;

cout << count;

getch();

}

[tani]

ขอวิธีทำข้อ 33 กับข้อ 25 ด้วยครับ

[nongtum]

25.

ใช้แผนภาพเวนน์แจงตามตำแหน่งของ 0 ช่วยพิจารณาครับ

33.

ให้ $\vec{BC}=\vec{a}$ ดังนั้น
$\begin{eqnarray}
\vec{MH}\cdot\vec{MA}&=&-(\frac{\vec{a}}{2}+\vec{CH})\cdot(\frac{\vec{a}}{2}+\vec{AB})\\
&=&-\frac{a^2}{4}-\frac{\vec{a}}{2}\cdot(\vec{CA}+\vec{AH}+\vec{AB})-\underbrace{\vec{CH}\cdot\vec{AB}}_{=\vec{0}}\\
&=&\frac{a^2}{4}-\underbrace{\frac{\vec{a}}{2}\cdot\vec{AH}}_{=\vec{0}}\\
&=&\frac{1}{4}a^2\\
\end{eqnarray}
$
จุดที่เกิดเวกเตอร์ศูนย์สองจุด ได้มาจากเงื่อนไขโจทย์ว่า่ส่วนสูงตั้งฉากกับฐานครับ

[gon]

สำหรับวิธีคิดข้อ 31 ของผมนะครับ

??????????????????????????????????

สมมติว่าจำนวน 7 หลักดังกล่าวอยู่ในรูป $a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0 $
หลังจากได้สมการ $a_6 + a_4 + a_2 + a_0 = a_5 + a_3 + a_1 = k , k = 1, 2, ... , 6$

โดยที่ $1 \le a_6 \le 2, 0 \le a_5,a_4,a_3,a_2,a_1,a_0 \le 2$

จากนั้นใช้ฟังก์ชันก่อกำเนิด (generating function) คือ$ (x + x^2)(1 + x + x^2)^3$ และ $(1 + x + x^2)^3$ ตามลำดับ

เนื่องจาก$ (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2) + 6abc$

ดังนั้น $(1 + x + x^2)^3 = 1 + 3x + 6x^2 + 7x^3 + 6x^4 + 3x^5 + x^6$
นั่นคือ $(x+x^2)(1 + x + x^2)^3 = x + 4x^2 + 9x^3 + 13x^4 + 13x^5 + 9x^6 + 4x^7 + x^8$

จากนั้นหาผลบวกของผลคูณระหว่างสัมประสิทธิ์ของ x ที่ดีกรีเท่ากันคือ 1, 2, ... , 6
จึงได้ (3)(1) + (6)(4) + (7)(9) + (6)(13) + (3)(13) + (1)(9) = 216

หมายเหตุ นับโดยใช้หลักการนับตรงๆก็ำได้ครับ แต่ต้องทำนานหน่อย

[tantawan]

ขอวิธีทำข้อ 13 ข้อ 14 และข้อ 16 ด้วยครับ ขอบคุณ ครับ

[สมชาย]

ข้อ 13 ลองเอา A คูณกันเองซักครั้งสองครั้งน่าจะเห็นแนวโน้มครับ
ข้อ 16 กับ 29 ผมได้เท่าคุณ bell18 ครับ
ข้อ 16 น่าจะแยกเป็น 2 กรณี คือ 1. เด้กชายที่เหลือ2คนยืนติดกัน 2.เด็กชายที่เหลือ2คนยืนแยกกัน
ข้อ 25 ผมได้ 253 แต่ไม่รู้ถูกมั๊ยครับ
ข้อ 33 คิดไม่ออก ได้คุณ nongtum มาช่วยพอดี ขอบคุณครับ