เเฟกทอเรียลข้อนี้ทำยังไง ยากมาก

[cardinopolynomial]

กำหนด p=5!x6!x7!x8!x9!x10!x11!x12!
จำนวนเต็มบวกที่หาร p ได้ลงตัวเเละเป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์มีทั้งหมดกี่จำนวน

[วะฮ่ะฮ่า03]

ลองใช้นิยาม ! ดูครับ

[cardinopolynomial]

ยังไงหรอครับ

[วะฮ่ะฮ่า03]

5!=5x4x3x2x1
6!=6x5x4x3x2x1
ทำไปเรื่อยๆ
จะได้ผลคูณ
12x11x11x10x10x10x9x9x9x9...
=$12x11^2x10^3x..x2^{11}$
=$(2^2x3)x11^2x(5x2)^2...$
ลองแยกออกมาแล้วหาตัวประกอบที่เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์ครับ

[cardinopolynomial]

ตอบ 50 จำนวนรึเปล่าครับ

[วะฮ่ะฮ่า03]

ผมยังไม่คิดเลยครับ เลขเยอะ ไม่รู้ว่ามีวิธีง่ายกว่านี้รึป่าวครับ(น่าจะมี)

[cardinopolynomial]

ผมคิดอีกรอบได้ 90 อ่ะ

[ยังห่างไกลจากความเป็นเทพ]

ผมคิดได้ 16224 ครับ

คล้ายข้อนี้เลยครับ

มีจำนวนที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์กี่จำนวนที่หาร 1!2!3!...9! ลงตัว (2003 AMC 12A)
1. 504
2. 672
3. 864
4. 936
5. 1008

[Thgx0312555]

ใช้กฎการนับสิครับ

1. แยกเป็นจำนวนเฉพาะคูณกัน

$$p= 12!11!...5!$$
$$= 12^111^210^3...5^84^83^82^8$$
$$= (2^23)(11^2)(2^35^3)(3^8)(2^{15})(7^6)(2^73^7)(5^8)(2^{16})(3^8)(2^8)$$
$$= 2^{51}3^{24}5^{11}7^611^2$$

จะได้ว่า x จะหาร p ลงตัวก็ต่อเมื่อ
$x = 2^{a_1}3^{a_2}5^{a_3}7^{a_4}11^{a_5}$
โดยที่
$0 \le a_1 \le 51, 0 \le a_2 \le 24, 0 \le a_3 \le 11, 0 \le a_4 \le 6, 0 \le a_5 \le 2$
แต่ x จะเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ก็ต่อเมื่อทุกๆ $a_i$ หาร 2 ลงตัว

จากนั้นก็ใช้กฎการนับเบื้องต้น จะได้ว่ามีอยู่ 26x13x6x4x2=16224 จำนวนครับ
เช็คความถูกต้องให้ด้วยครับ

[ยังห่างไกลจากความเป็นเทพ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

ใช้กฎการนับสิครับ

1. แยกเป็นจำนวนเฉพาะคูณกัน

$$p= 12!11!...5!$$
$$= 12^111^210^3...5^84^83^82^8$$
$$= (2^23)(11^2)(2^35^3)(3^8)(2^{15})(7^6)(2^73^7)(5^8)(2^{16})(3^8)(2^8)$$
$$= 2^{51}3^{24}5^{11}7^611^2$$

จะได้ว่า x จะหาร p ลงตัวก็ต่อเมื่อ
$x = 2^{a_1}3^{a_2}5^{a_3}7^{a_4}11^{a_5}$
โดยที่
$0 \le a_1 \le 51, 0 \le a_2 \le 24, 0 \le a_3 \le 11, 0 \le a_4 \le 6, 0 \le a_5 \le 2$
แต่ x จะเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ก็ต่อเมื่อทุกๆ $a_i$ หาร 2 ลงตัว

จากนั้นก็ใช้กฎการนับเบื้องต้น จะได้ว่ามีอยู่ 26x13x6x4x2=16224 จำนวนครับ
เช็คความถูกต้องให้ด้วยครับ

ถูกต้องครับ ผมก็คิดคล้ายกันครับ แต่คิดแบบนี้ครับ

$$p= 12!11!...5! $$
$$= 2^{51}3^{24}5^{11}7^611^2$$
$$= 2x5(2^{25}3^{12}5^{5}7^311)^{2}$$

จำนวนที่เป็นกำลังสองที่จะหารลงคือ (25+1)(12+1)(5+1)(3+1)(1+1) = 16224

[HL~arc-en-ciel]

เอ่อขอบคุณครับ