ก่อนเข้าค่ายครับ :-]

[-MIT-]

ง่ายๆคือกระทู้แก้โจทย์มาราธอนในแนวคณิตศาสตร์โอลิมปิคนั่นแหละครับ

ขอเริ่มก่อนละกันครับ จะมีคนเล่นด้วยรึเปล่า

________________________________________________________________________

1. ให้ $x,y\in R^+$ จงแก้สมการ $f(x)+g(y)=log(1+x+y+xy)$

Ans

ผมคิดได้
$f(x)=log(1+x)+c$
$g(x)=log(1+x)-c$
เมื่อ $c$ เป็นค่าคงที่ใดๆและ $c\in R$

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -MIT-

ง่ายๆคือกระทู้แก้โจทย์มาราธอนในแนวคณิตศาสตร์โอลิมปิคนั่นแหละครับ

ขอเริ่มก่อนละกันครับ จะมีคนเล่นด้วยรึเปล่า

________________________________________________________________________

1. ให้ $x,y\in R^+$ จงแก้สมการ $f(x)+g(y)=log(1+x+y+xy)$

Ans

ผมคิดได้
$f(x)=log(1+x)+c$
$g(x)=log(1+x)-c$
เมื่อ $c$ เป็นค่าคงที่ใดๆและ $c\in R$

แทน $x=y=9$ จะได้
$f(9)+g(9)=log(100)=2\rightarrow f(9)+g(9)=2$
แทน $y=9$ จะได้ $f(x)+g(9)=1+log(1+x)=f(x)+2-f(9)\rightarrow f(x)=log(1+x)+(f(9)-1)$
แทน $x=9$ จะได้ $f(9)+g(y)=1+log(1+y)=g(y)+2-g(9)\rightarrow g(y)=log(1+y)+(g(9)-1)$
แต่ $f(9)-1=1-g(9)$ ให้เท่ากับ $c$
จะได้ $f(x)=log(1+x)+c,g(x)=log(1+x)-c$

ผมว่ามันแปลกๆยังไงไม่รู้แหะ รบกวนเซียนทั้งหลายช่วยดูให้หน่อยครับ

2.ให้ $a,b,c \in \mathbb{R} $ โดยที่ $a^4+b^4+c^4=a^2+b^2+c^2$
จงพิสูจน์ว่า
$$a^2+b^2+c^2 \geq a^2b+b^2c+c^2a$$

โจทย์แต่งเองถ้าซ้ำกับที่ไหนก็ขอโทษด้วยนะครับ

[Keehlzver]

มาเร็วมากจริงๆครับ

ไม่เเปลกหรอกครับ คำตอบถูกเเล้ว ได้ $f(x),g(x)$ เหมือนกันโดยที่ $c=f(0)$ $g(0)=-f(0)$ เเทน $y,x=0$ อย่างละทีก็ออกเเล้วครับ

ข้อ 2 คงได้เเนวคิดมาจาก Secret ใช่ไหมครับ จาก $a^3+b^3+c^3\geq a^2b+b^2c+c^2a$ ก็พิสูจน์ไปว่า $a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$ ซึ่งก็น่าจะเป็นจริงโดย Power Mean เเต่ยังไม่ได้ลอง Full Proof ครับ

[LightLucifer]

แทนเป็น 0 ไม่ได้นะครับ
ระวังหน่อยๆ เพราะผมก็พลาดไปแล้วเมื่อกี้

ปล โจทย์ข้อที่ผมคิดมันไม่ยากขนาดนั้นหรอกครับ
ปล2 ใครทำได้ก็ช่วยโพสโจทย์ต่อด้วยนะครับ เพื่อการมีอยู่ของกระทู้ต่อไป

[-MIT-]

ข้อ 1 ผมทำโดยใช้วิธีที่เคยเห็นในตำรา สอวน. ครับ

$$f(x)+g(y)=log[(1+x)(1+y)]=log(1+x)+log(1+y)$$
$$f(x)-log(1+x)=log(y)-g(y)$$

เพราะฉะนั้น $f(x)-log(1+x)=log(y)-g(y)=c$

$f(x)=log(1+x)+c$
$g(x)=log(1+x)-c$

[Keehlzver]

ขออภัยด้วยครับ ผมนี่ไม่รอบคอบเอาซะเลย

สรุปว่าโจทย์ข้อสอง

จาก Cauchy
$(a^2+b^2+c^2)^2=(a^4+b^4+c^4)(a^2+b^2+c^2)\geq (a^3+b^3+c^3)^2$

$(a^3+b^3+c^3)^2\geq (a^2b+b^2c+c^2a)^2$
ถ้า $a^2b+b^2c+c^2a<0$ เราได้ว่า $a^2+b^2+c^2\geq 0 > a^2b+b^2c+c^2a$
ถ้า $a^2b+b^2c+c^2a\geq 0$ เราะไดว่า $a^2+b^2+c^2\geq a^2b+b^2c+c^2a$

ดังนั้น $a^2+b^2+c^2\geq a^2b+b^2c+c^2a$ ตามต้องการ

ถ้าผิดก็ชี้เเนะนะครับ

ข้อต่อไป หาฟังก์ชั่นทั้งหมด $f : \mathbb{R} \longmapsto \mathbb{R}$ ที่ทำให้ $f(x^3+y^3)=xf(x^2)+yf(y^2)$ ทุกค่า $x,y \in\mathbb{R}$

Romanian National Mathematical Olympiad, 2009

[LightLucifer]

โจทย์ไม่ได้กำหนดว่าต่อเนื่องเหรอครับ

[Keehlzver]

เเหล่งที่มาของโจทย์ผมเอามาจาก Mathlink ครับ เป็น Original จากที่นั่น อาจมีเงื่อนไขตกไปก็ได้ เพื่อไม่ให้ปวดหัวก็เพิ่มเงื่อนไขนี้ไปละกันนะครับ $f(x)f(y)=f(xy)$

(จริงๆผมอยากได้ Solution เเบบที่ไม่เป็นฟังก์ชั่นต่อเนื่องจริงๆนะครับ )

[-MIT-]

จากเงื่อนไข $f(xy)=f(x)f(y)$

ได้ว่า $f(x^3)=f(x^2\cdot x)=f(x^2)f(x)$

และสมการ $f(x^3+y^3)=xf(x^2)+yf(y^2)$

$(x,0) \rightarrow f(x^3)=xf(x^2)$

$f(x^2)f(x)=xf(x^2)$

จะได้ $f(x^2)=f^2(x)=0$ หรือ $f(x)=x$
ดังนั้น $f(x)=0,x$

ปล. ผมทำถูกมั้ยครับ

[LightLucifer]

#8
แทน $y=0$ จะได้ $f(x^3)=xf(x^2)$
จะได้ $f(x^3+y^3)=f(x^3)+f(y^3)$ สอดคล้องกับสมการโคชี ซึ่งถ้าไม่ ต่อเนื่อง หรือ มีขอบเขตุ หรือ เป็นฟังก์ชันทางเดียว มันจะยากในการหานะครับ

[Amankris]

#8
แล้วต้นฉบับมันมีเงื่อนไขนั้นจริงเปล่าหรือครับ หรือว่าเติมเอาเอง??

#9
ตอนจบสรุปแบบนั้นไม่ได้ครับ

#10
บางครั้งก็ทำได้โดยไม่จำเป็นต้องทราบการมีอยู่ของสามเงื่อนไขนั้นนะครับ
เช่น การแทนตัวแปรด้วยค่าที่เหมาะสม

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

#10
บางครั้งก็ทำได้โดยไม่จำเป็นต้องทราบการมีอยู่ของสามเงื่อนไขนั้นนะครับ
เช่น การแทนตัวแปรด้วยค่าที่เหมาะสม

ถือว่าเป็น Hint ให้ข้อนี้ด้วยหรือป่าวครับ

แล้วสรุปว่าข้อนี้แต่เดิมมีเงื่อนไขอะไรเพิ่มหรือไม่ครับ (เริ่มสับสน )

[Keehlzver]

ผมกล่าวเอาไว้เเล้วครับว่า โจทย์ที่เห็นไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติมใดๆครับ เป็น Original เเต่ผมเพิ่มเงื่อนไข $f(m)f(n)=f(mn)$ เพิ่มเข้าไปเองครับ
ว่าเเต่ เพราะอะไรถึงสรุปเเบบคุณ MIT ไม่ได้ครับ

ถ้าใครมี Solution เเบบไม่ทำผ่านเงื่อนไขที่ผมเพิ่มมาก็รบกวนโพสด้วยครับ

ขอบคุณครับ

[Influenza_Mathematics]

จงหาค่าของ $$\frac{1}{1^4-6*1^2+25}+\frac{2}{2^4-6*2^2+25}+ \frac{3}{3^4-6*3^2+25}+ ...$$

[tatari/nightmare]

(แต่งเอง)ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน($a+b+c$ ไม่เท่ากับศูนย์ด้วย) จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ
$$\dfrac{[7(a^2+b^2+c^2)-4(ab+bc+ca)]^2}{\left|\,\right.ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)\left.\,\right| }$$
และถ้าเป็นไปได้จงหาค่าของ $a,b,c$ ณ ตำแหน่งที่ค่าน้อยสุดเกิดขึ้น