|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#166
|
|||
|
|||
กระทู้เริ่มไม่เดินแล้ว งั้นผมให้ Hint ไว้สำหรับข้อที่เหลือครับ
5. Bernoulli $a^r=(1+a^s-1)^{r/s}$ 14. ฺำBernoulli 18. พิสูจน์ว่า $(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\leq (a^2+b^2+c^2)(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2})$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#167
|
|||
|
|||
ต่อให้อีก
21. $a,b,c>0$ $\dfrac{a^2+(b-c)^2}{a^2+(b+c)^2}+\dfrac{b^2+(c-a)^2}{b^2+(c+a)^2}+\dfrac{c^2+(a-b)^2}{c^2+(a+b)^2}\geq\dfrac{3}{5}$ 22. $\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{4}>\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5}$ 23. $a,b,c>0$ $\Big(\dfrac{a^3}{2}+\dfrac{b^3}{3}+\dfrac{c^3}{6}\Big)^2\geq \Big(\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{b^2}{3}+\dfrac{c^2}{6}\Big)^3$ 24. $A,B,C$ เป็นมุมในรูปสามเหลี่ยม $\sin A+\sin B+\sin C\geq \sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C}$ 25. $a,b,c\in [0,1]$ $\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+c^2}}\leq \dfrac{1}{\sqrt{1+ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+ca}}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#168
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
โดยอสการ Power mean $\displaystyle(\frac{3a^3+2b^3+c^3}{6})^{\frac{1}{3}}\ge (\frac{3a^2+2b^2+c^2}{6})^{\frac{1}{2}}$ $\displaystyle(\frac{3a^3+2b^3+c^3}{6})^2\ge(\frac{3a^2+2b^2+c^2}{6})^3$ |
#169
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
by Bernoulli $$(1+(a^r-1))^\frac{s}{r} \ge 1+\frac{s}{r}(a^r-1)$$ $$\Rightarrow r(a^s-1) \ge s(a^r-1)$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#170
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
and by AM.-HM. $$\sum_{cyc} \frac{1}{a^2+(b+c)^2} \ge \frac{9}{\sum_{cyc} a^2+ \sum_{cyc} (a+b)^2}=\frac{9}{3(\sum_{cyc} a^2)+2\sum_{cyc} ab} \ge \frac{9}{5\sum_{cyc} a^2}$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir 14 พฤษภาคม 2011 14:43 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#171
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$$\Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{a}{b}+\sum_{cyc} \frac{a}{c} \leq \sum_{cyc} \frac{a^2}{b^2}+\sum_{cyc} \frac{a^2}{c^2}$$ use $x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c},z=\frac{c}{a}$ and $xyz=1$ $$\Leftrightarrow \sum_{cyc} x+\sum_{cyc} xy \leq \sum_{cyc} x^2+\sum_{cyc} \frac{xy}{z}$$ Which is true by Cauchy and Rearangement
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#172
|
|||
|
|||
ข้อ 25.
อยากทราบว่า $a,b,c\in [1,0]$ ตรงนี้หมายถึง $0\le a,b,c \le 1$ หรือเปล่าครับ |
#173
|
|||
|
|||
ใช่แล้วครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#174
|
|||
|
|||
ขอหลักการคิดแบบ ที่เขากำหนดช่วงค่ามาหน่อยได้ไหมครับ
เพราะไม่เคยเจอเลย |
#175
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$a,b\in [0,1]$ พิสูจน์ว่า $1+ab\geq a+b$ เราจะมีอสมการ $1-a\geq 0, 1-b\geq 0$ ซึ่งเมื่อนำมาคูณกันจะได้ $(1-a)(1-b)\geq 0$ $1-a-b+ab\geq 0$ $1+ab\geq a+b$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#176
|
||||
|
||||
งั้นช่วย Hint ข้อที่่เหลือให้หน่อยครับ
เเล้วก็ อสมการอันนี้ (ที่ผมเเต่งเอง) $a,b,c\ge0$ จงพิสูจน์ว่า $$a^3+b^3+c^3+a^2+b^2+c^2+a+b+c\ge 3(ab+bc+ca)$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#177
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$\therefore a^3+b^3+c^3+a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 3(a^2+b^2+c^2)$ Am-Gm อีกสักรอบ $2(a^2+b^2+c^2)=(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2)\geq 2(ab+bc+ca)$ ตามที่ท่านต้องการ ตูม!!!
__________________
AL-QAEDA(เอXข้างหน้า!!)!!!!!!!!!! ถึง บิน ลาเดนจะลาโลกไปแล้ว แต่เรายังมีผู้นำ jihad คนใหม่....อย่าง อับดุล อาบาเร่ คราลิดทากัน...เราจะใช้รถดูดส้XXเป็นคาร์บอม!!!จงพลีชีพเพื่อผู้นำของเรา!!!!!!! BOOM!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
|
#178
|
|||
|
|||
Hint:
22. ทำตรงๆก็ออกนะ แต่ถ้าจะให้ไวก็ Karamata's inequality 24. Jensen's inequality 25. พิสูจน์ว่า $\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+b^2}}\leq\dfrac{2}{\sqrt{1+ab}}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#179
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
เเละ จากอสมการของ โคชีทาซ้าย $$\sqrt{(1+a^2)(1+ab)}+\sqrt{(1+b^2)(1+ab)}\leq \sqrt{2\left\{\,(1+a^2)(1+ab)+(1+b^2)(1+ab)\right\} }$$ ดังนั้น จึงต้องการพิสูจน์ว่า $$\sqrt{2\left\{\,(1+a^2)(1+ab)+(1+b^2)(1+ab)\right\} }\leq 2\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}$$ $$\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\ge a+b$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#180
|
||||
|
||||
24. ให้ $f(x)=\sin x(1-2\cos x)$
$$\Rightarrow \sin A(1-2\cos A)+\sin B(1-2\cos B)+\sin C(1-2\cos C)=f(A)+f(B)+f(C)\ge 3 f(\frac{A+B+C}{3})=0$$ ถูกป่าวครับ ช่วยชี้เเนะ เกี่ยวกับ Diff ให้หน่อยนะครับ ................................................................................
__________________
Vouloir c'est pouvoir 15 พฤษภาคม 2011 08:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum เหตุผล: double post+แก้เล็กน้อยโปรดใช้ปุ่มแก้ไข |
|
|