ช่วยแก้ differential equation ขอนี้ให้หน่อยครับ

[jae_bau]

$$ \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{1}{y}(\frac{dy}{dx} )^2 - \frac{1}{y} = 0 $$

เป้นสมการที่ได้มาจากการแก้ สมการ lagrange equation ครับ พอแก้เสร็จมันจะได้สมการที่เรียกว่า
catenary แต่ผมไม่รู้ว่ามันแก้ยังงัย เพราะผมไม่เคยแก้สมการ non-linear แบบนี้เลยครับ
ช่วยด้วยค๊าบบบบ

[M@gpie]

nonlinear มานี่อาจจะมีวิธีแก้ที่เป็นแบบเฉพาะครับ แต่ถามก่อนว่าปัญหานี้ต้องการจะทำอะไรครับ ต้องใช้ solution เลยรึเปล่า?

[jae_bau]

อยากจะได้วิธีที่จะแก้สมกาหา solution ออกมาเลยครับ ไม่อาวิธีสุ่มมาแทนน่ะครับ
พอจะมีวิธีมั๊ยครับ
มันมาจาก การแก้ Lagange Equation ของการหาพลังงานศักย์น้อยสุดของเส้นเชือกครับ โดยมีเงื่อนไขจำกัดคือ
ความยาวของเส้นเชือก ซึ่งเมื่อแก้สมการมันจะได้รูปแบบที่เค้าเรียกว่า catenary
ลองแก้ดูคับ ว่าหน้าตาของสมการมันจะเหมือนของผมมั๊ย

คำตอบของมันคือ $ y = \frac{1}{a} cosh(ax) $

แต่ไม่รู้ว่าได้มายังงัยอ่ะครับ อาจารย์เล่าให้ฟังว่า เค้าลองเอาเจ้าฟังก์ชันนี้มาแทน
แล้วมันเป็นจริง ดังนั้นคำตอบคือสมการนี้ อาจารย์เรียกว่า วิธีแบบเซียน
แต่ผมรู้สึกว่า มันมีแค่รูปเดียวเหรอ มันจะมีรูปอื่นมั๊ย มีวิธีแก้หาตรงๆ รึป่าว
คือผูดตามตรงผมไม่ชอบวิธีจับมาแทน แล้วตอบครับ มันยังงัยก็ไม่รู้

[nooonuii]

http://en.wikipedia.org/wiki/Catenary

[jae_bau]

ตรวจสอบคำตอบแล้วครับ
สมการถูกต้องครับ
แก้ให้ดูหน่อยเถอะค๊าบบบบบ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jae_bau

$$ \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{1}{y}(\frac{dy}{dx} )^2 - \frac{1}{y} = 0 $$

ก่อนอื่นขอจัดรูปใหม่ก่อนนะครับ เป็น $$ yy^{''}=1+(y^{'})^2 \cdots (*)$$

จากนั้นก็กำหนด ตัวแปร $ z = y \sqrt{1+(y^{'})^2}$

diff z เทียบ x ทั้ง 2 ข้าง จะได้ $ z^{'} = y^{'} \bigg(\frac{yy^{''}+1+(y^{'})^2}{\sqrt{1+(y^{'})^2}} \bigg) $

จาก (*) แทนค่าในสมการด้านบนจะได้ $ z^{'} = 2y^{'} \sqrt{1+(y^{'})^2} = \frac{2zy^{'}}{y} \Rightarrow \frac{z^{'}}{y^{'}}= \frac{2z}{y} \Rightarrow \frac{dz}{dy}= \frac{2z}{y}$

แก้ ODE ธรรมดา จะได้ $ \sqrt{1+(y^{'})^2}= ay$ เมื่อ a เป็นค่าคงที่

จัดรูปใหม่จะได้ $ y^{'} = \sqrt{a^2 y^2 -1} $ แล้วลองใช้วิธี separable ตามด้วยการอินทิเกรตดูนะครับ(ถ้าทำถูก รู้สึกว่า จะได้ arccos hyperbolic ออกมาในด้านที่อินทิเกรต y ครับ)