คำถามเกี่ยวกับอนุกรมแมคคลอรินครับ

[Lekkoksung]

จงหาอนุกรมแมคคลอรินสำหรับ $f(x)= \cos x$
จะได้
$$\cos x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}$$
หรือ
$$\cos x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\cos(\frac{n \pi}{2})x^{n}}{n!}$$

ช่วยตอบหน่อยน่ะครับ ขอเหตุผลด้วยครับ

[คุณชายน้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Lekkoksung

จงหาอนุกรมแมคคลอรินสำหรับ $f(x)= \cos x$
จะได้
$$\cos x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}$$
หรือ
$$\cos x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\cos(\frac{n \pi}{2} )x^{n}}{n!}$$

ช่วยตอบหน่อยน่ะครับ ขอเหตุผลด้วยครับ

$\cos x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}$
$~~~~~= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{cos(n\Pi)x^{2n}}{(2n)!}$
$~~~~~= \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{cos(\frac{m \pi}{2})x^{m}}{m!}~~(ให้~~ m = 2n~~ จะเห็นว่า~~cos(\frac{m \pi}{2}) = 0~~ เมื่อ~~ m~~ เป็น คี่)$
$~~~~~= \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\cos(\frac{n \pi}{2} )x^{n}}{n!}$

[Lekkoksung]

แล้วอันไหนมันถูกต้องครับ คือผมไม่รู้จริงๆ คือในความคิดผม ผมคิดว่า
$$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+ \cdots +\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}+ \cdots$$
ส่วน
$$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\cos(\frac{n \pi}{2} )x^{n}}{n!}=1+0-\frac{x^{2}}{2!}+0+ \frac{x^{4}}{4!}+0+ \cdots +\frac{\cos(\frac{n \pi}{2} )x^{n}}{n!}+\cdots$$
$$=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+ \cdots +\frac{\cos(\frac{n \pi}{2} )x^{n}}{n!}+ \cdots$$

มันเท่ากันน่ะครับ หรือไม่ยังไง บอกหน่อยน่ะครับ

[คุณชายน้อย]

ถูกทั้งคู่ และเท่ากันด้วย คำตอบทางคณิตศาสตร์สามารถตอบได้หลายรูป แล้วแต่การนำไปใช้ครับ วิธีการง่าย ๆ ตรวจสอบโดยการย้อนกลับแล้วได้รูปคำตอบเท่ากันก็ OK แล้วครับ ...

[thai_be]

ผมลองใช้ maple ดูนะครับ