รบกวนอธิบายเกี่ยวกับ อสมการจัดเรียงและอื่นๆครับ

[Jew]

1.อยากทราบว่าทฤษฏีของอสมการจัดเรียงคืออะไรอ่ะครับ
2.อยากทราบเกี่ย่วกับพหูนามเอกพันธุ์ว่าทำไม่เราสามารถสมมติได้ว่า
a+b+c=1 อ่ะครับ
3.อยากทราบว่าอสมการเชบีเชฟใช้ทำอะไรได้บ้างอ่ะครับ
ขอบคุณมากครับ

[nooonuii]

อสมการการจัดเรียงคืออสมการที่พิจารณาค่าสูงสุดต่ำสุดของผลคูณในรูป

$a_1b_1+\cdots+a_nb_n$

ถ้าเรานำ $a_1,...,a_n$ มาเรียงค่าจากน้อยไปมากได้เป็น

$c_1,...,c_n$

และนำ $b_1,...,b_n$ มาเรียงค่าจากน้อยไปมากได้เป็น

$d_1,...,d_n$

เราจะได้อสมการการจัดเรียงคือ

$c_nd_1+c_{n-1}d_2+\cdots+c_1d_n\leq a_1d_1+a_2d_2+\cdots+a_nd_n\leq c_1d_1+c_2d_2+\cdots c_nd_n$

อสมการนี้จริงบนจำนวนจริงใดๆ
-----------------------------------------------------------------------------------
สมมติเป็นอสมการเอกพันธ์ในตัวแปร $a,b,c$

เปลี่ยนตัวแปรโดยให้ $x=\dfrac{a}{a+b+c},y=\dfrac{b}{a+b+c},z=\dfrac{c}{a+b+c}$

เนื่องจากเป็นอสมการเอกพันธ์ การถ่วงน้ำหนักตัวแปรด้วยค่าคงที่ใดก็ตามจะไม่ส่งผลต่ออสมการ

หมายความว่าถ้าเราแทนค่า $a=x(a+b+c),b=y(a+b+c),c=z(a+b+c)$ เข้าไปในอสมการเดิม

แต่ละเทอมจะมีตัวประกอบที่อยู่ในรูป $(a+b+c)^k$ เสมอซึ่งสุดท้ายเราสามารถตัดทอนกันได้หมด

อสมการที่เหลืออยู่ก็คืออสมการในรูปแบบเดิมทุกประการแต่อยู่ในรูปตัวแปร $x,y,z$ ทั้งหมด

แต่จะเห็นได้ว่า $x+y+z=1$ สุดท้ายก็เลยได้ว่า เราต้องพิสูจน์อสมการเดิมในรูปตัวแปรใหม่ แต่มีเงื่อนไข

$x+y+z=1$ เข้ามาแทน ดังนั้นถ้ามองย้อนกลับไปที่ตัวแปรชุดเดิม การสมมติว่า $a+b+c=1$ ตั้งแต่ต้นก็ไม่ได้เสีย

นัยทั่วไปในการพิสูจน์แต่อย่างใด

ตัวอย่าง

$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq\dfrac{3}{2}$$

ให้ $x=\dfrac{a}{a+b+c},y=\dfrac{b}{a+b+c},z=\dfrac{c}{a+b+c}$

แทนค่า $a=x(a+b+c),b=y(a+b+c),c=z(a+b+c)$ ลงไปจะได้

$$\dfrac{x(a+b+c)}{y(a+b+c)+z(a+b+c)}+\dfrac{y(a+b+c)}{z(a+b+c)+x(a+b+c)}+\dfrac{z(a+b+c)}{x(a+b+c)+y(a+b+c)}\geq\dfrac{3}{2}$$

$$\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\geq\dfrac{3}{2}$$

สำหรับการสมมติเงื่อนไขอื่นก็ทำโดยการเปลี่ยนตัวแปรเหมือนกันเช่น

ถ้าเปลี่ยนตัวแปรเป็น

$x=\dfrac{a}{\sqrt[3]{abc}},y=\dfrac{b}{\sqrt[3]{abc}},z=\dfrac{c}{\sqrt[3]{abc}}$

เราก็จะได้อสมการเดิมแต่มีเงื่อนไข $xyz=1$ เพิ่มขึ้นมา

[Jew]

ถามเพิ่มครับ
เราสามารถให้
a+b+c=n เมื่อ n เป็นจำนวนเต้มบวกใดๆเท่านั้นใช่ไหมครับ
หรือแทนได้เฉพาะกรณี n=1 ครับ
สองเราสามารถแทน
ab+bc+ca=n เมื่อ n เป็นจำนวนเต้มบวกใดๆเท่านั้นใช่ไหมครับ
หรือแทนได้เฉพาะกรณี n=1
ขอบคุณครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Jew

ถามเพิ่มครับ
เราสามารถให้
a+b+c=n เมื่อ n เป็นจำนวนเต้มบวกใดๆเท่านั้นใช่ไหมครับ
หรือแทนได้เฉพาะกรณี n=1 ครับ
สองเราสามารถแทน
ab+bc+ca=n เมื่อ n เป็นจำนวนเต้มบวกใดๆเท่านั้นใช่ไหมครับ
หรือแทนได้เฉพาะกรณี n=1
ขอบคุณครับ

$a+b+c=r$

$ab+bc+ca=r$

$abc = r$

$a^2+b^2+c^2=r$

เมื่อ $r>0$ เป็นจำนวนจริงใดๆ แทนได้หมดครับ