โจทย์ตรีโกณมิติ(อย่างง่ายหรือยาก?)

[[FC]_Inuyasha]

$sin x +cos x+tan x+cosec x+sec x +cot x = 8 จงหา sin2x$ ผมได้เลขไม่ค่อยสวยเท่าไรนัก

[กิตติ]

ผมมองว่าถ้าหาค่าของ$sinx+cosx$ ได้ก็หาคำตอบได้ เพราะ$(sinx+cosx)^2=1+sin2x$
$sin x +cos x+tan x+cosec x+sec x +cot x = 8$

$tanx+cotx=\dfrac{1}{sinx cosx} $

$cosec x+sec x =\dfrac{sin x +cos x}{sinx cosx} $

$sinx cosx(sin x +cos x)+1+sin x +cos x=8sinx cosx$

$sin^2xcosx+cos^2xsinx+1+sin x +cos x=8sinx cosx$

$cosx-cos^3x+sinx-sin^3x+1+sin x +cos x=8sinx cosx$

$2(sin x +cos x)+1=cos^3x+sin^3x+8sinx cosx$

$2(sin x +cos x)+1=(cosx+sinx)(1-sinxcosx)+4((sinx+cosx)^2-1)$

$(cosx+sinx)(1+sinxcosx)-4(sinx+cosx)^2+5=0$

แทน$\frac{1}{2}\left\{\,(sinx+cosx)^2-1\right\}=sinxcosx$

$\frac{1}{2}\left\{\,(sinx+cosx)^2+1\right\}=1+sinxcosx$

$(sinx+cosx)^3-8(sinx+cosx)^2+(sinx+cosx)+10=0$

ให้$sinx+cosx=A$

$A^3-8A^2+A+10=0$

$(A+1)(A^2-9A+10)=0$

$A=\quad -1, \quad \frac{9\pm \sqrt{41} }{2} $

ดังนั้น$sin2x=0$ และ $sin2x=\quad \frac{59\pm 9\sqrt{41} }{2}$
ค่า$-1\leqslant sin\theta\leqslant 1 $
จึงเหลือคำตอบคือ
$sin2x=0,\quad \frac{59-9\sqrt{41} }{2}$
แต่$sin2x=0\rightarrow sinx=0$ หรือ $cosx=0$ ซึ่งทำให้หาค่าของ $tan x,cosec x,sec x,cot x$ ไม่ได้ เหลือคำตอบคือ $sin2x=\quad \frac{59-9\sqrt{41} }{2}$

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

$2(sin x +cos x)+1=cos^3x+sin^3x+8sinx cosx$

$2(sin x +cos x)+1=(cosx+sinx)(1-2sinxcosx)+4((sinx+cosx)^2-1)$

$\cos^3x+\sin^3x\not=(\cos x+\sin x)(1-2\sin x\cos x)$

[กิตติ]

ขอบคุณครับ....คุณAmankris ที่ช่วยดูให้ รีบทำไปหน่อย
$\cos^3x+\sin^3x=(\cos x+\sin x)(1-\sin x\cos x)$
แก้คำตอบแล้ว ถ้าจะผิดคงเพราะคิดเลขตกหล่น ไม่แน่ใจว่าจะมีวิธีอื่นบ้างไหมที่สั้นกว่านี้