ช่วยคิดหน่อยนะครับคิดไม่ออก ^^

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

ข้อ 1
สมมติ $y=kx,\ z=lx$ สำหรับ $k,l$ บางตัว เนื่องจาก $x \ne 0$ ดังนั้น
$$2=\frac{y^2-zx}{x^2-yz}=\frac{k^2-l}{1-kl}=\frac{l^2-k}{1-kl}=\frac{z^2-xy}{x^2-yz}$$
ทำให้ $k^2+k=l^2+l$ โดยที่ $kl\ne1$ ดังนั้น $(k+\frac12)^2=(l+\frac12)^2$

ผมว่า $\frac{z^2-xy}{x^2-yz} = 4 $ นะครับ

[Puriwatt]

ข้อ.9 กำหนดให้ $m^2 = n-20$ แล้ว $ n+20 = (m+a)^2 = m^2 + 2a.m + a^2$
(n+20)-(n-20) = $40 = 2a.m+a^2$ --> $m = \frac{(40-a^2)}{2a}$
a = 1, $m = \frac{39}{2}$, $n = \frac{1601}{4}$
a = 2, m = 9, n = 101
a = 3, $m = \frac{31}{6}$, $n = \frac{1681}{36}$
a = 4, m = 3, n = 29
a = 5, $m = \frac{3}{2}$, $n = \frac{89}{4}$
a = 6, $m = \frac{1}{3}$, $n = \frac{181}{9}$
ถ้ามีการกำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็ม แล้วต้องตอบ 29 กับ 101 ครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Puriwatt

ข้อ.6 ผมคิดได้ 4096 ( 3 ชุดแรกมีการยกกำลังด้วยนะครับ)

ขอบคุณครับที่ทักท้วง ผมตรวจสอบอีกทีได้คำตอบตรงกันครับ ผมแก้ให้แล้วครับ

[nongtum]

ขอบคุณคุณ Puriwatt ที่ท้วงครับ
แหะๆ พลาดแบบไม่น่าพลาด งั้นผมขอแก้ใหม่ตรงนี้ละกัน แต่จะทิ้งที่ทำไว้เหมือนเดิมตรงนั้น เผื่อใครอยากใช้ไอเดียนี้ลุยข้อ 2 หรือข้ออื่นๆที่ใช้แนวคิดแบบนี้แล้วได้

ข้อ 1

จับสมการลบกันเป็นคู่ๆ แล้วแยกตัวประกอบ จะได้ว่า
$$\begin{eqnarray}
(x-y)(x+y+z)&=&-1\\
(z-y)(x+y+z)&=&2\\
(x-z)(x+y+z)&=&-3\\
\end{eqnarray}$$เห็นได้ชัดว่า $x+y+z\ne 0$ ดังนั้น $\dfrac{x-y}{y-z}=\dfrac12$ ซึ่งทำให้ $z=3y-2x$
(ขั้นตอนนี้ผมลองทดดูแล้ว พบว่าไม่ว่าจะจับคู่ใดมาหารกัน ก็ได้ $z=3y-2x$)
ให้ $y=kx,\ z=(3k-2)x$ ดังนั้น $$2=\frac{y^2-zx}{x^2-yz}=\frac{k^2-3k+2}{1-k(3k-2)}=-\frac{(k-1)(k-2)}{(3k+1)(k-1)}=-\frac{k-2}{3k+1}$$
ซึ่งจะได้ $k=0$ (หาก $k=1$ เราจะได้ $x^2=5x^2+1$ ซึ่งคำตอบไม่เป็นจำนวนจริง)
แทน $(x,0,-2x)$ ใน $x^2=yz+1$ จะได้ $x=\pm1$ ในที่สุดจะได้ $(x,y,z)=(1,0,-2),(-1,0,2)$
ผลรวมสูงสุดจึงเป็น 1

ส่วนข้อ 9 ผมอาศัยการสังเกตว่า $n^2+(2n+1)=(n+1)^2$
และจาก $40=19+21=7+9+11+13$ เป็นผลรวมของจำนวนคี่บวกเรียงกัน(แล้วได้ 40)ที่เป็นไปได้
(ในที่นี้ จะได้ $n-1$ หรือ $n-13,\ n-4,\ n+7$ เป็นจำนวนจัตุรัสด้วย แล้วแต่กรณี)
หาค่า $n$ จากตัวบวกตัวแรกแล้วหา $n^2+20$ (ทำไม) ก็จะได้สองคำตอบคือ 29 กับ 101 ครับ

แต่ก็ไม่ยักจะใช้วิธีนี้กับข้อ 10 ได้แฮะ...

ข้อ 10

จากโจทย์ จะมีจำนวนเต็ม $a,b,c$ ที่ $a^2=n+9,\ b^2=16n+9,\ c^2=27n+9$
เพราะ $16a^2=16n+9+135=b^2+135$ เราจะประยุกต์วิธีในข้อ 9 มาใช้ได้ดังนี้
เพราะ
$\qquad\quad\begin{eqnarray}135&=&2\cdot67+1\\
&=&(2\cdot21+1)+45+47\\
&=&(2\cdot11+1)+25+27+29+31\\
&=&(2\cdot3+1)+9+11+13+15+17+16+21+23+25\\
\end{eqnarray}$
เป็นผลรวมของจำนวนคี่บวกเรียงกัน(แล้วได้ 135)ที่เป็นไปได้ เราจะได้ค่า $n,a,b,c$ ตามตารางต่อไปนี้
$\qquad\quad\begin{array}{rrrr}
b & n & a & c\\
67 & 280 & 17 & 87\\
21 & 27 & 6 & \not\in\mathbb{Q}\\
11 & 7 & 4 & \not\in\mathbb{Q}\\
3 & 0 & 0 & 0\\
\end{array}$

[titletam]

16)กำหนดระบบสมการ $\frac{a1}{2}+\frac{a2}{3} +\frac{a3}{4}+... +\frac{a2007}{2008} = \frac{4}{3}$
$\frac{a1}{3}+\frac{a2}{4}+\frac{a3}{5}+...+\frac{a2007}{2009} = \frac{4}{5}$
$\frac{a1}{5}+\frac{a2}{5}+\frac{a3}{6}+...+\frac{a2007}{2010} = \frac{4}{7}$
. . .
. . .
. . .
$\frac{a1}{2008}+\frac{a2}{2009}+\frac{a3}{2010}+...+\frac{a2007}{4014} = \frac{4}{4075}$
จงหาค่าของ $\frac{a1}{3}+\frac{a2}{5}+\frac{a3}{7}+...+\frac{a2007}{4015}$ เป็นเท่าไร
17.) ให้ $a,b,c,d,e,fเเละg$ เป็นจำนวนเต็ม สมการ $a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+g^6 = 96957 $ มีทั้งหมดกี่คำตอบ

[titletam]

18.)กำหนด ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมี มุม ABC = 51 องศา ถ้า m เป็นจุดภายในทำให้ มุม MCB = มุม MCA = 9 ถ้า มุม MBC = 21 ขนาดของ มุม AMC เป็นเท่าใด

19.) ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมมี AB<AD เส้นทเเยงมุมAC เเบ่งครึ่ง มุม BAD E เป็นจุดภายในบนด้าน AD ทำให้ BC = CD = DE ถ้า มุม ABC = 130 องศา เเละ มุม BAD = 40 องศา เเล้ว ขนาดของมุม ACE เป็นเท่าไร

20.) ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมมี มุมABC = มุมCBD = มุมADB = 40 องศา AC พบ BD ที่ M ถ้า AM+BM = DM ขนาดของ มุมBDC เป็นเท่าไร

ขอบคุณสำรหับเเนวคิดนะครับ สุดยอดจิงๆ

[Puriwatt]

ข้อ.19 ตอบ 45 องศา (ดูรูปประกอบ)

[Puriwatt]

ข้อ.18 มุมAMC = 129 องศา (ดูรูปประกอบ)

[RoSe-JoKer]

โจทย์จากอาจารย์ไมตรี ศรีทองแท้ 10000000% ยืนยันชัวร์ครับ -*-