โจทย์ Topology ไม่น่ายากเลย แต่เฉลยไม่เป็น - -"

[rigor]

ให้แสดงว่า (0,1)x(0,1) เป็นเซตเปิด

ผมพยายามเฉลยโดยให้ x เป็นสมาชิกใน (0,1)x(0,1) และเลือก r = min{$x_1, 1-x_1, x_2, 1-x_2$} ดูแล้วทรงกลมเปิด S(x;r) เป็นสับเซตของ (0,1)x(0,1) แน่ๆ แต่ผมเขียนพิสูจน์ไม่เป็นอะคับ - -" ช่วยให้คำแนะนำหน่อยนะครับ ขอบคุณผู้รู้ที่มีน้ำใจทุกท่านครับ

[warut]

ให้ $$x= (x_1,x_2) \in (0,1) \times (0,1)$$ และ $$r= \min \{ \, x_1, 1-x_1, x_2, 1-x_2 \, \}$$
สิ่งที่คุณ rigor ต้องการพิสูจน์คือ $$ (a-x_1)^2 +(b-x_2)^2 <r^2 \quad \Rightarrow \quad a,b \in (0,1)$$ อันนี้ใช่ไหมครับ ถ้าใช่ ผมทำแบบนี้ครับ $$ \begin{array}{rc} & (a-x_1)^2 +(b-x_2)^2 <r^2 \\ \Rightarrow & (a-x_1)^2 < r^2 \\ \Rightarrow & -r < a-x_1 < r \\ \Rightarrow & x_1-r < a < x_1+r \end{array} $$ จากวิธีที่เราเลือก $r$ ขึ้นมา เราจะได้ว่า $$ x_1+r =\min \{ \, 2x_1, 1, x_1+x_2, 1+x_1-x_2 \, \} \le 1 $$ และ $$ x_1-r =\max \{ \, 0, 2x_1-1, x_1-x_2, x_1+x_2-1 \, \} \ge 0 $$ ดังนั้นเราจึงได้ $a \in (0,1) $ ตามต้องการ ที่เหลือก็ทำคล้ายๆกันครับ

ป.ล. ถ้าทำแบบผมแล้วผิด ก็อย่ามาโทษกันนะครับ

ป.ล.2 เพิ่งเห็นว่าคุณ rigor ไปแปะคำถามไว้ที่ วิชาการ.คอม ด้วย โชคดีนะที่ผมไม่ได้ไปทำซ้ำซ้อนกับคนอื่นเข้า

[rigor]

ขอบคุณมากๆคับ คุณ warut ผมโดนบังคับให้ทำ - -" มีทางรอดแล้วเรา

[nooonuii]

ถ้าลองไล่นิยามของ product topology แทบจะไม่ต้องพิสูจน์อะไรเลยครับ
แต่ต้องอ้างสองข้อนี้

1. (0,1) เป็น open set ใน $R$
2. product topology ใน $R\times R$ กับ metric topology ใน $R\times R$ เป็นสิ่งเดียวกัน

[nooonuii]

คิดว่าคำตอบที่คุณ Rigor ต้องการน่าจะเป็นแบบของคุณ Warut ครับ ผมมีอีกวิธีนึงแต่ต้องใช้เครื่องมือเยอะหน่อย

ให้ $A = R^2 \setminus (0,1)\times (0,1)$ จะพิสูจน์ว่า A เป็น closed set แทน

ให้ $z_n = (x_n,y_n)\to z = (x,y)\in R^2$ โดยที่ $z_n \in A, \forall n\in N$
จะได้ว่า ลำดับ $x_n\to x$ และ $y_n\to y$ เนื่องจาก projection เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
เนื่องจาก $\{x_n\}, \{y_n\} \subset R\setminus (0,1)$ และ $R\setminus (0,1)$ เป็น closed set ใน $R$
เราจะได้ว่า $x,y \in R\setminus (0,1)$ ดังนั้น $z = (x,y)\in A$ ซึ่งจะได้ว่า $A$ เป็น closed set ใน $R^2$

ป.ล. ผมใช้ทฤษฎีที่ว่า $A$ is closed iff every convergent sequence of elements in $A$ converges in $A$ ครับ

อืม รู้สึกว่าผมกำลังขี่ช้างจับตั๊กแตนอยู่นะเนี่ย

[rigor]

ขอบคุณครับคุณ noonuii มีอะไรแปลกใหม่มาแถมให้ทุกครั้งเลย จะพยายามทำความเข้าใจอีกทีนะครับ เพราะยังเรียนไม่ถึง

ผมเฉลยออกมาแบบคุณ warut แล้วครับ

ขอบคุณมากๆทั้งสองท่านครับ

[rigor]

ลืมๆๆๆๆๆ ลืมยกนิ้วให้