ค่าย1 2554 suankularb

[polsk133]

... แก้ข้อ 2.1 เศษ $[5n]! เป็น [12n]!$




พีชคณิต

1. จงหาจำนวนเต็มบวก $x,y$ ทั้งหมด ที่ทำให้ $$x^2 + 40x + 2011 = y^2$$
2.ถ้า $a,b,c,d > 0$ และ $a^4 + b^4 +c^4 +d^4 = 4abcd $แล้ว จงพิสูจน์ว่า $a=b=c=d$
3.จงหารากของสมการ $$\lfloor x \rfloor \{x\} + x = 2\{ x \} + 10$$
4.จงหารากของสมการ$$ \frac{13x-x^2}{x+1} \left( x + \frac{13-x}{x+1} \right) =42$$
5.จงหาพหุนาม $P(x)$ ที่ทำให้ $$\left(P \left( x \right) ^2 \right) - p \left( x-1 \right) = 4x^4 +4x^3 +11x^2 + 9x +5 $$

ปล.อยากทราบจังครับ ปกติแล้ว คนสุดท้ายรอบนี้ตัดที่เท่าไหร่

[Scylla_Shadow]

โจทย์อสมการข้อ 4 มันช่าง....ล้ำลึก

0.25-0.5 Solution

พีช 1. จะได้ $1611=(x+y+20)(y-x-20)$

พีช 2. เนื่องจากเป็นพีช ไม่ใช่อสมการ เราจัดรูปได้
$(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0$

พีช 3. ให้ $a=\left\lfloor\, x \right\rfloor ,b=\left\{\, x \right\} $ จะได้ $a+b=x$
สมการคือ $ab+a+b=2b+10$ นั่นคือ $(a-1)(b+1)=9$

พีช 4. ให้ $y=\frac{13-x}{x+1}$ นั่นคือ $x+y+xy=13$ แต่จากโจทย์ $xy(x+y)=42$
เราก็สามารถแก้หา x ได้ไม่ยาก

พีช 5. -*- $4x^2???$ น่าจะ $4x^4$ ป่ะ

[polsk133]

#2 ใช่แล้วครับ


ปล.ปีนี้คะแนนสอบแต่ละวิชาต้องถึง 10/50 ไม่งั้นจะไม่รับพิจารณา
ปล2. ข้อ 5.1 ของวิชาอสมการ ทำอย่างไรครับ

[AnDroMeDa]

ข้อ1$(x,y)=(65,99),(247,270),(785,806) $
ข้อ3$x=\frac{34}{5},\frac{15}{2} ,\frac{58}{7} ,\frac{73}{8} $
ข้อ4$x=1,6,3+\sqrt{2},3-\sqrt{2} $
ข้อ5$P(x)=2x^2+x+3$

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ AnDroMeDa

ข้อ1$(x,y)=(65,99),(247,270),(785,806) $
ข้อ3$x=\frac{34}{5},\frac{15}{2} ,\frac{58}{7} ,\frac{73}{8} $
ข้อ4$x=1,6,3+\sqrt{2},3-\sqrt{2} $
ข้อ5$P(x)=2x^2+x+3$

ข้อ $3 \ \ \ \ x=10$ ได้หนิครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

ปล2. ข้อ 5.1 ของวิชาอสมการ ทำอย่างไรครับ

Hint :
พิสูจน์ให้ได้ก่อนว่า m+1 และ n-2 อยู่ใน form $21k^2$ สำหรับบางจำนวนเต็ม k

[LightLucifer]

แวะมาบอกว่าอสมการข้อสองใหญ่ คิดลึกไปมันจะยากเพราะอสมการนี้มัน weak กว่าปกติ คิดตื้นๆแล้วจัดรูปก็สวยดีครับ

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

แวะมาบอกว่าอสมการข้อสองใหญ่ คิดลึกไปมันจะยากเพราะอสมการนี้มัน weak กว่าปกติ คิดตื้นๆแล้วจัดรูปก็สวยดีครับ

ข้อ1ใหญ่ทำอย่างไรหรอครับ

[Beatmania]

ปีนี้ไม่มี combinatorics หรอครับ

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

ข้อ1ใหญ่ทำอย่างไรหรอครับ

ไม่แน่ใจนะว่าโจทย์เป็นอย่างนี้หรือเปล่า มองไม่ค่อยชัด, สำหรับ $a,b,c>0$ พิสูจน์ $$\sum_{cyc} \frac{a^3}{a^2+ab+b^2} \ge \frac{a+b+c}{3}$$
ใช้ lemma นิดหน่อยคือ $a^3+b^3 \ge ab(a+b)$ พิสูจน์โดยจัดรูปและ AM-GM

พิจารณา $A=\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}$ และ $B=\sum \frac{b^3}{a^2+ab+b^2}$

ได้ว่า $A-B=a-b+b-c+c-a=0$ ดังนั้น $A=B$

และจาก $2ab \le a^2+b^2$ ฉะนั้น $A \ge \sum \frac{a^3}{(3/2)(a^2+b^2)}=\frac{2}{3} \cdot \sum \frac{a^3}{a^2+b^2}$

ทำนองเดียวกัน, $B \ge \frac{2}{3} \cdot \sum \frac{b^3}{a^2+b^2}$

แต่โจทย์คือ $A=(1/2)(A+B) \ge \frac{1}{3} \cdot \sum \frac{a^3+b^3}{a^2+b^2}$

พิสูจน์ได้ไม่ยากจาก lemma ว่า $a^3+b^3 \ge \frac{1}{2} (a^2+b^2)(a+b)$

จึงได้ว่า $A \ge \frac{1}{3} \cdot (1/2)(a+b+b+c+c+a) =\frac{a+b+c}{3}$

[polsk133]

#9 เติมให้แล้วครับ
#10 โหดจริงครับ ก็ว่าทำไมทำไม่ได้

[PP_nine]

ie ข้อ 1 ยังไม่โหดเท่าข้อ 3 ครับ ขอเวลาคิดก่อนๆ

[Keehlzver]

ทำได้เยอะขนาดนี้เตรียมตัวเข้าค่าย 2 ได้เลย

ข้อ 1 มีอีกวิธีที่ทำได้คือใช้ Engel form คูณกระจายออกมาแล้ว SOS,SOS-Schur,PQR อย่างใดอย่างหนึ่งน่าจะหลุด

ข้อ 3 มันแข็ง นิดๆหน่อยๆก็ตกขอบแล้ว ต้องมีวิธี Sharp Bound แน่นอน เห็นแล้วนึกถึงโจทย์เก่าๆที่ได้ชื่อว่า (stronger than Schur พอจะนึกออกไหมครับ) ส่วนตัวคิดดูจริงๆจังๆแล้วไม่ออกครับ ยังหาวิธีดีๆไม่ได้

[polsk133]

บางข้อที่ทำไปก็ผิดครับ
แต่ อสมการ ผมว่ามันยากจังทำไม่ได้เลย ไม่น่ายากขนาดนี้เมื่อเทียบกับทฤษฎีจำนวน

[Keehlzver]

ในที่สุดก็หลุดซะทีอสมการข้อ 3 ใช้ PQR Method เข้าไปตีครับ

Lemma
1.$p^2-3q \geq 0$
2.$p^4-5p^2q+4q^2+6pr \geq 0$
อสมการแรกสมมูลกับ $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \geq 0$ ซึ่ง Well-known
อสมการที่สองสมมูลกับอสมการ Schur ดีกรี 2 $x^2(x-y)(y-z)+y^2(y-x)(y-z)+z^2(z-x)(z-y) \geq 0$

ให้ $p=x+y+z$ และ $q=xy+yz+zx$ และ $r=xyz$
เอามายกกำลังสองก่อน
$(p^2-q)^2\geq \sum 4x^2y^2+\sum 4xy\sqrt{(y^2+z^2)(z^2+x^2)}$
มาถึงตรงนี้ถ้า Bound พลาดนิดเดียวมันจะตกขอบ
$4xy\sqrt{(y^2+z^2)(z^2+x^2)}\leq 4xy(\frac{2z^2+x^2+y^2}{2})=4xyz^2+2x^3y+2xy^3$
เพราะฉะนั้นเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า
$\sum 4x^2y^2+4xyz(x+y+z)+2(\sum x^3y+\sum xy^3) \leq (p^2-q)^2$
ต่อไปผมจะเปลี่ยนตัวแปรทุกตัวให้อยู่ในรูป $p,q,r$ ให้หมด
สร้างเอกลักษณ์จากการกระจาย $(x+y+z)^4$ ออกมาจะได้ว่า
$2(\sum x^3y+\sum xy^3)=2p^2q-2pr-4q^2$
ดังนั้นอสมการสมมูลกับ
$4(q^2-2pr)+4pr+2p^2q-2pr-4q^2\leq p^4-2p^2q+q^2$
ซึ่งสมมูลกับ $p^4+q^2+6pr-4p^2q \geq 0$
เขียนอสมการใหม่เป็น
$(p^4-5p^2q+4q^2+6pr)+q(p^2-3q) \geq 0$
แต่ว่า $p^4-5p^2q+4q^2+6pr \geq 0$ และ $p^2-3q \geq 0$ จริงจาก Lemma
จบการพิสูจน์

(จะเห็นว่าโจทย์ข้อนี้ใช้อะไรหลายๆอย่างมาประยุกต์รวมๆกัน ซึ่งผมมีความเห็นว่ายากเกินกว่าที่จะเป็นโจทย์สอวน.ค่าย 1 ทางที่ดีนะครับสำหรับเส้นทางสายโอลิมปิกนี้ เราควรจะมีอาวุธติดตัวให้เยอะที่สุดและใช้ให้ชำนาญเป็นการดี เพราะโจทย์บางข้อต้องเขียนพิสูจน์ส่งอาจารย์มันต้องทำในเวลาที่จำกัด และมันเป็นการยากที่เราจะเขียนอะไรที่มันสร้างสรรค์มากๆออกมา อธิบายมากไม่ได้ครับ เพราะผมเองก็ไม่ได้แตะของพวกนี้มานานมากๆแล้ว ทำโจทย์เยอะๆเป็นคำแนะนำสุดท้ายครับ )