ข้อสอบ สอวน.ค่ายมีนา

[The jumpers]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

ตอนแรกผมก็คิดข้อ 4 ได้ 6 ราก แต่จริง ๆ แล้วมี 8 รากครับ

Algebraข้อ2.คนส่วนใหญ่คงจะตอบว่าx^3+6x^2+21x+52=0เเต่ที่จริงเเล้วคำตอบที่ถูกคือ A(x^3+6x^2+21x+52)=0ตั่งหากล่ะ(A\in \mathbb{R} ) 555ลืมใช่มั้ยล่า...ไม่ได้มั่วนะ ยืนยันได้ที่อ.พรชัย ชัยสนิท จากปากอ.เองเลยนะเนี่ย! เเต่ข้อนี้ผมเองก็ผิดเหมือนกันเเหละ ฮิฮิ... ใครถูกบ้างผมขอยกนิ้วให้เลย(นิ้วโป้งนะ อย่าคิดมาก...)

[M@gpie]

เหอๆๆ เป็นจุดที่.... ไม่มีคำบรรยายครับ แต่ $A\neq 0$ นะครับ ลืมไปรึเปล่า
ว่าแต่จะโพสทำไมหลายๆความเห็นครับ


ข้อเรียงตัวอักษร ยังคิดวิธีอื่นไม่ออก นอกจาก กรณีทั่วไปของกฎเพิ่มเข้าหักออก คุณ dektep กับ คุณ jumpers คิดวิธีไหนครับผม

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ M@gpie

เหอๆๆ เป็นจุดที่.... ไม่มีคำบรรยายครับ แต่ $A\neq 0$ นะครับ ลืมไปรึเปล่า
ว่าแต่จะโพสทำไมหลายๆความเห็นครับ


ข้อเรียงตัวอักษร ยังคิดวิธีอื่นไม่ออก นอกจาก กรณีทั่วไปของกฎเพิ่มเข้าหักออก คุณ dektep กับ คุณ jumpers คิดวิธีไหนครับผม

Combinatorics
ข้อ 3 ผมใช้ PIE สองครั้งครับ
ข้อ 4 ผมใช้ PIE ธรรมดาครับ

[Anonymous314]

$Plane$ $Geometry$
1.จงแสดงวิธีหาคำตอบ
(1)สามเหลี่ยม $\bigtriangleup ABC$ มีจุด $D,E$ เป็นจุดบนด้าน $AB,AC$ ตามลำดับ ทำให้ $AD: DB=AE:EC=1:3$ ถ้า $BD$ ตัด $CD$ ที่จุด $F$ แล้วสามเหลี่ยม $BFC$ เป็นกี่เท่าของสามเหลี่ยม $
DEF$
(2)สามเหลี่ยม $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมที่มีมุม $B$ เป็นมุมฉาก จุด $D,E$ เป็นจุดบนด้าน $BC$ ทำให้ $BD=3,DE=24,EC=12$ ถ้ามุม $BAD$ เท่ากับ มุม $EAC$ จงหาค่าของ $AB$
2.สามเหลี่ยม $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมที่มีวงกลมล้อมรอบ $AK$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ $O$ เป็นจุดรวมเส้นตั้งฉาก ลาก $OK$ ถ้า $R$ แทนรัศมีวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABC$ จงพิสูจน์ว่่า $2AB^2 + BC^2 + 2CA^2 = 16R^2 - OK^2 $
3.กำหนดให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมใด ๆ จงลากเว้นตรง $DE$ และ $XY$ ขนานกับด้าน $BC$ ที่กำหนดให้
พ.ท.สามเหลี่ยม $ADE$ : พ.ท.สี่เหลี่ยม $DEXY$ : พ.ท.สี่เหลี่ยม $XYCB$ =$3:2:1$
4.วงกลม 2 วงสัมผัสกันภายนอกที่จุก $X$ เส้นตรง $AB$ ลากผ่านจุด $X$ พบเส้นรอบวงทั้งสองที่จุด $A,B$ และเส้นตรง $CD$ ลากผ่านจุด $X$ พบเส้นรอบวงทั้งสองที่จุด $C,D$ ตามลำดับ ถ้า $AB$ ยาวกว่า $CD$ ต่อ $AC$ พบเส้นสัมผัสร่วมวงกลมทั้งสองที่ลากจากจุด $X$ ที่จุด $E$ จงพิสูจน์ว่า $AE\cdot XD=EX\cdot XB$
5.ในสามเหลี่ยม $ABC$ ถ้า $r$ และ $R$ เป็นรัศมีวงกลมแนบในสามเหลี่ยม และวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABC$ แล้วจงพิสูจน์ว่้า $r(\sin A + \sin B + \sin C) = 2R\sin A\sin B\sin C$

[SPLASH]

ข้อ 6 number
ผมเดาว่า โจทย์ น่า จะผิดตรงที่ว่า น่าจะมีเงื่อนไขเพิ่มว่า n เป็นจำนวนประกอบ
เพราะว่าn=2,3,5เป็นต้น

[SPLASH]

ค่อนข้าง มั่ว นะครับ

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SPLASH

ข้อ 6 number
ผมเดาว่า โจทย์ น่า จะผิดตรงที่ว่า น่าจะมีเงื่อนไขเพิ่มว่า n เป็นจำนวนประกอบ
เพราะว่าn=2,3,5เป็นต้น

$n > 5$ และไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนประกอบครับ

[SPLASH]

ใช่ ครับ ได้ เหมือนกัน ครับ
เพราะ จำนวนเฉพาะ ได้ เเค่ 2,3,5

[M@gpie]

น้อง SPLASH หายไปนานเลยนะครับ ไปซุ่มฝึกวิชาอยู่รึเปล่า

ข้อ 4 ตัวท้ายของ $2^{2^{2551}}+1$ เพื่อนผมคิดได้ 2657 ครับส่วน... วิธี สองหน้า A4 เห็นแล้วยอมแพ้ครับ เหอๆ ในค่ายมีใครคิดได้วิธีสวยๆรึเปล่าครับ

[dektep]

Combinatorics
ข้อหนึ่งอยู่ใน 102 คอมบิ introductory problem
ข้อสอง
พิจารณาเซต $\left\{\,\right. a^1-1,a^2-1,...,a^{10^n+1}-1\left.\,\right\} $
โดยหลักรังนก จะได้ว่ามีสองจำนวนที่หารด้วย $10^n$ แล้วเหลือเศษเท่ากันสมมติว่าคือ $a^m-1$ และ $a^n-1$ โดยที่ $m > n$
ดั้งนั้น $10^n | (a^m-1)-(a^n-1) = a^n(a^{m-n}-1)$
แต่ $gcd(a,2)=gcd(a,5)=gcd(a,10)=1$
ดังนั้น $10^n | a^{m-n}-1$
หมายความว่า $a^{m-n}$ จะต้องลงท้ายด้วย $\underbrace{0000...1}_{n}$

[Ber_zerk]

ขอลองบ้างนะครับ เรขาข้อ 2 คับ
ต่อ BK และ CK และกำหนดให้ BO ตัด AC ที่จุด P และ CO ตัด ABที่จุดQ
เพราะว่ามุมภายในครึ่งวงกลม $A\hat C K และ A\hat B K$ เป็นมุมฉาก
ทำให้ได้ว่า $4R^2=AK^2 =AC^2+CK^2 =AB^2+BK^2$
นั่นคือ $8R^2=AB^2 +AC^2 +BK^2+CK$
ดังนั้น $16R^2 -OK^2 =2(AB^2 +AC^2+CK^2+BK^2)-OK^2$
$=2AB^2+2AC^2+(2CK^2+2BK^2-OK^2)$
เพราะว่า $B\hat P A=K\hat C A หรือ K\hat C P$ และ $C\hat Q A=K\hat B A หรือ K\hat B P$
ทำให้ได้ว่า $PB//CK และ QC//BK$ หรีอ $OB//CK และ OC//BK$
นั่นคือ OBKC เป็น สี่เหลี่ยมด้านขนาน $\therefore OC=BK และ B\hat KC+K\hat C O=180$
พิจาณา OBKC จากกฎของ cos จะได้ว่า $BC^2=CK^2+BK^2-2(CK)(BK)cos(B\hat K C)$
และ $OK^2=OC^2+CK^2-2(OC)(CK)cos(O\hat C K)=BK^2+CK^2+2(BK)(CK)cos(B\hat K C)$
เพราะฉะนั้น $OK^2+BC^2=2CK^2+2BK^2$ นั่นคือ $BC^2=2CK^2+2BK^2-OK^2$
แต่ $16R^2 -OK^2=2AB^2+2AC^2+(2CK^2+2BK^2-OK^2)$
นั่นคือจะได้ว่า $16R^2 -OK^2=2AB^2+2AC^2+BC^2$ ตามต้องการ
ปล.ผมลองมั่วมานะคับ ถ้ามีตรงไหนผิด หรือ เขียนไม่ดี คุมเครือ ช่วยบอกผมด้วยนะคับ จะเป็นพระคุณอย่างสูงนะคับ

[SPLASH]

น้อง dektep ช่วยhint สมการเชิง function ข้อสอง หน่อยได้ไหมครับ
ข้อ4 number นี่ถึก มากครับ

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SPLASH

น้อง dektep ช่วยhint สมการเชิง function ข้อสอง หน่อยได้ไหมครับ
ข้อ4 number นี่ถึก มากครับ

พยายาม $bound$ ค่าของ $f(x)$ จะได้ว่า $f(x)+1 \geq f(x+1) \geq f(x)+1 \rightarrow f(x)+1=f(x+1)$

[mathstudent2]

combinatoric ข้อสองทำยังไงหรอคัรบ
โดยไม่ใช่ Euler's phi function อะครับ

[M@gpie]

Number theory ข้อ 6. โจทย์มีปัญหารึเปล่าครับ เช่นแทน $n=5$ จะได้ว่า $(n-1)!+1=25=5^2$