ข้อสอบเพชรยอดมงกุฏ มัธยมต้น 2552

[WAP]

ขอบคุณล่วงหน้าค่ะ ^^

[banker]

เมื่อกี้ถามข้อ28 ข้อเดียว ทำไมงอกมาเพิ่มอีก

[WAP]

หุหุ ก้อทำไมได้นี่ค่ะ

เพิ่งมาลองทำเพชรยอดมงกุฎดู

ขนาดของมอต้นนะค่ะเนี่ย

ยากใช้ได้เลย

ขอบคุณมากนะค่ะ

[Amankris]

ข้อ 24
ลองดูว่าผลบวกของสัมประสิทธิ์ มีความสัมพันธ์กับค่า $x$ อย่างไร

ปล. ข้ออื่น บอกใบ้อย่างเดียว อาจจะไม่พอ เดี๋ยวว่างๆ จะพิมพ์ให้นะครับ

[Amankris]

8

ก.

$\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}>\dfrac{a}{1+a+b}+\dfrac{b}{1+a+b}$

//กระจายก็ยังได้ครับ แต่ดูเป็นชนชั้นแรงงานไปหน่อย
________________________________________

ข.

$\begin {array}{rclcl}
x^8&+&1&>&0\\
x^8&+&x^2&\ge&2x^5\\
x^2&+&1&\ge&2x
\end {array}$

//จัดรูปใหม่ดีๆ ก็ได้เช่นกัน
________________________________________

ค.

Counter Ex. $(a,b)=\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\right)$

//ข้อนี้ไม่ยากครับ

[WAP]

ขอบคุณมากนะค่ะ ข้อ 24 คิดได้แร้วค่ะ

[Amankris]

9

ก.

$f(n)=\left(\dfrac{2n}{2n+1}\right)^n$

$g(n)=\left(\dfrac{2n-1}{2n+1}\right)^n$

สามารถพิสูจน์ได้ว่า $f(n)+g(n)<1$

//ข้อนี้ถือว่ายากเหมือนกันนะ

ข.

$x^6+x^6+1\ge 3x^4$

$x^6+1+1+1+1+1\ge 6x$

//แยกตัวประกอบได้ครับ วิเคราะห์ดีๆ

[TheMintoRB]

ขออนุญาตขุดกระทู้นะค่ะ
สรุปว่าข้อ 8 ตอบ 3
ข้อ 9 ตอบ 4
ข้อ 28 ตอบ 3

รึเปล่าอ่ะค่ะ

[<KAB555>]

ขอเสนอแนะวิธีพิสูจน์ข้อ 9 ค่ะ [เจอจาก หนังสือคณิตศาสตร์ปรนัย เล่มอสมการ] เผื่อจะเป็นประโยชน์ค่ะ

(ก) $(2n+1)^n>(2n)^n+(2n-1)^n$ ทุกจำนวนเต็มบวก n ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 3
จะพิสูจน์ว่า $(2n+1)^n-(2n-1)^n>(2n)^n$
จาก $(2n+1)^n-(2n-1)^n $
$= \sum_{k = 0}^{n}\binom{n}{k} (2n)^{n-k}-\sum_{k = 0}^{n}\binom{n}{k} (2n)^{n-k}(-1)^k$
$=\sum_{k = 0}^{n}\binom{n}{k} (2n)^{n-k}(1-(-1)^k)$
$=\binom{n}{0} (2n)^n(1-1)+\binom{n}{1} (2n)^{n-1}(1+1)+\binom{n}{2} (2n)^{n-2}(1-1)+\binom{n}{3} (2n)^{n-3}(1-1)+...$
$=\binom{n}{1} (2n)^{n-1}(2)+\binom{n}{3} (2n)^{n-3}(2)+...$
$>\binom{n}{1} (2n)^{n-1}(2)$
$=(2n)^n$

(ข) $x^6+2\geqslant x^4+2x$ ทุกจำนวนจริง x
เพราะว่า $x^6+2\geqslant x^4+2x$ จัดรูปใหม่ได้เป็น $x^6-x^4-2x+2\geqslant 0$ แยกตัวประกอบจะได้ เท่ากับ $(x-1)(x^5+x^4-2)\geqslant 0$
จากนั้นก็แบ่งกรณีค่ะ $x\leqslant -1 , -1<x<1 , x\geqslant 1$ จะพบว่า $x^6-x^4-2x+2\geqslant 0$ ทั้ง 3 กรณีค่ะ