ลองคิดดูนะครับ

[kanji]

ให้ $a\ge 1$ และ $x\in\mathbb{R}$ ผลบวกคำตอบของสมการ $\sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x$ มีค่าเท่าใด

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanji

ให้ $a\ge 1$ และ $x\in\mathbb{R}$ ผลบวกคำตอบของสมการ $\sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x$ มีค่าเท่าใด

คำตอบ

$\sqrt{a-\sqrt{a+x}}= x$
$a-\sqrt{a+x}= x^2$
$a-x^2 = \sqrt{a+x}$
$a+x-x^2 = \sqrt{a+x}+x$
$(\sqrt{a+x}+x)(\sqrt{a+x}-x) = \sqrt{a+x}+x$
$(\sqrt{a+x}+x)(\sqrt{a+x}-x-1) = 0$
จากเงื่อนไขโจทย์จะพบว่า $(\sqrt{a+x}+x) > 0$
เพราะฉะนั้น $\sqrt{a+x}-x-1 = 0$
$\sqrt{a+x} =x+1$
$x^2+x+1-a =0$
$ x = \frac{-1\pm \sqrt{4a-3}}{2}$
แต่ค่าที่ใช้ได้คือ $ x = \frac{-1+\sqrt{4a-3}}{2}$

[M@gpie]

โจทย์เป็นข้อสอบสมาคมปีโบร๊าณโบราณด้วย ครับ สังเกตว่า $x\geq 0$ แหงๆครับ เพราะเท่ากับรูท ซึ่งผลบวกของรากไม่น่าจะเท่ากับ $-1$ ได้

แนวคิด

ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้ว่า $a-\sqrt{a+x} = x^2$
บวกทั้งสองข้างด้วย $x+1/4$ จะได้ว่า \[ \left(\sqrt{a+x}-\frac{1}{2}\right)^2 = \left( x+\frac{1}{2}\right)^2\]
คิดคำตอบมาแล้วตรวจสอบจะพบว่า $x=\frac{\sqrt{4a-3}-1}{2}$ เป็นคำตอบเดียวที่ใช้ได้

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ M@gpie

โจทย์ไม่ใช่คัดเลือกโอลิมปิกครับ เป็นสมาคมปีโบร๊าณโบราณ สังเกตว่า $x\geq 0$ แหงๆครับ เพราะเท่ากับรูท ซึ่งผลบวกของรากไม่น่าจะเท่ากับ $-1$ ได้

ขอบคุณที่ท้วงครับ มาพลาดตอบจบลืมตรวจสอบค่า x อีกค่าว่าใช่ไม่ได้ ส่วนวิธีคล้ายๆกันครับผม แก้ให้แล้วครับ

[หยินหยาง]

โจทย์ข้อนี้เป็นข้อสอบคัดเลือกโอลิมปิก สสวท ปี 2547 รอบที่ 1 ตอนที่2 ข้อที่ 3 ผม ref. จากนี้ครับ
http://www.mathcenter.net/olympiad/2548/2548p02.shtml

[M@gpie]

อ่อครับ 555 จำได้ว่าเคยทำตอนเป็นข้อสอบสมาคม

[bell18]

ควรทราบ : โจทย์ข้อนี้เป็นข้อสอบของทั้งของสมาคมคณิตศาสตร์(ปี2531)และข้อสอบคัดโอลิมปิก(ปี2547)ทั้งคู่เลยครับ