ข้อสอบ ANET ปี52

[kanji]

ผมติดอยู่ข้อหนึ่งครับ ช่วยคิดหน่อยนะครับ

กำหนดให้ $r=\{(x,y) \,\,| \,x>0 , x\ne y , x-\sqrt[3]{x}=y-\sqrt[3]{y}\}$

สมาชิกค่ามากที่สุดของ $D_r$ เท่ากับข้อใด

1. $\frac{4}{3\sqrt{3}}$ 2. $\frac{8}{3\sqrt{3}}$
3. $\frac{4}{9}$ 4. $\frac{8}{9}$

[t.B.]

จากโจทย์

$x-y=\sqrt[3]{x} -\sqrt[3]{y} $

$(\sqrt[3]{x} -\sqrt[3]{y} )((\sqrt[3]{x} )^2 +\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y} +(\sqrt[3]{y} )^2 )=\sqrt[3]{x} -\sqrt[3]{y} $

เนื่องจาก $x\not= y $จึงเอา $\sqrt[3]{x} -\sqrt[3]{y} $หารตลอด จะได้

$(\sqrt[3]{y} )^2 +\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y} +(\sqrt[3]{x} )^2 = 1 $ --(*)

$(\sqrt[3]{y} )^2 +\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y} +(\sqrt[3]{x} )^2-1 = 0$

$\therefore \sqrt[3]{y} = \frac{-\sqrt[3]{x} \pm \sqrt{(\sqrt[3]{x} )^2-4\times 1\times ((\sqrt[3]{x} )^2-1 )} }{2} $

พิจารณาใต้รูทมากกว่า 0

$-3(\sqrt[3]{x} )^2+4 \geqslant 0$

$3(\sqrt[3]{x} )^2-4 \leqslant 0$

$(\sqrt[3]{x} )^2-\frac{4}{3} \leqslant 0$

$(\sqrt[3]{x} +\frac{2}{\sqrt{3} } )(\sqrt[3]{x} -\frac{2}{\sqrt{3} } ) \leqslant 0$

$\therefore 0<\sqrt[3]{x} \leqslant \frac{2}{\sqrt{3} } (\because x>0) $

$\therefore 0<x\leqslant \frac{8}{3\sqrt{3} } $

ปล.ถ้าทำในทำนองเดียวกัน....

แต่จัด x ให้อยู่ในรูป y แล้วพิจารณาใต้รูทก็จะได้คำตอบ $-\frac{2}{\sqrt{3} } \leqslant \sqrt[3]{y} \leqslant \frac{2}{\sqrt{3} } $

ถ้าพิจารณาสมการ(*)แล้วจะรูปใหม่จะได้ว่า

$(\sqrt[3]{x} )^2 +(\sqrt[3]{y} )^2 = 1-\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y} $

$LHS.\geqslant 0$ ดังนั้น $RHS.\geqslant 0$ ด้วย

$\therefore 1-\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y} \geqslant 0 \Longleftrightarrow \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y} \leqslant 1$

ลองแทน $\sqrt[3]{y} = 0.001 $ จะได้ x มากกว่า Dr แน่นอนซึ่งไม่น่าเป็นไปได้ ก็ไม่เข้าใจว่าผิดตรงไหนเหมือนกันใครรู้ช่วยบอกผมทีครับ

[cenia]

อ่อ อ่านผิดเองเรา *- -

[bell18]

โจทย์ข้อนี้ยากจัง ไม่ควรจะเป็นข้อสอบ A-NET เลย
มีเด็กกี่คนจะคิดได้จริงๆโดยไม่เดาเนี่ย

[t.B.]

ขอปลุกหน่อยครับ ยังหาที่ผิดไม่เจอ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

ขอปลุกหน่อยครับ ยังหาที่ผิดไม่เจอ

ไม่เข้าใจว่าต้องการถามอะไรครับ ขอเดาข้อความข้างล่างก็แล้วกัน

ลองแทน $\sqrt[3]{y} = 0.001$ จะได้ x มากกว่า Dr แน่นอนซึ่งไม่น่าเป็นไปได้ ก็ไม่เข้าใจว่าผิดตรงไหนเหมือนกันใครรู้ช่วยบอกผมทีครับ

คือถ้าแทนค่าตามที่ว่า จะได้ $x\leqslant 10^6$ มิได้หมายความว่า x ต้องมีค่ามากสุดเป็น $10^6$ เพราะตอน คุณ bound ค่้า อาจจะไม่ใช่ขอบเขตที่ดีที่สุดก็ได้
ขอโทษด้วยครับถ้าตอบไม่ตรงกับที่สงสัย

[bell18]

ส่วนข้อนี้ก็ยากครับ

"สองครอบครัวซึ่งแต่ละครอบครัวประกอบด้วย พ่อ แม่ และลูก2คน จะต้องถูกจัดให้นั่งรอบโต๊ะกลม8ที่นั่ง
โดยที่เด็กแต่ละคนจะต้องนั่งติดกับพ่อหรือแม่ของตนเอง จะมีจำนวนวิธีจัดได้กี่วิธี"

ถึงตอนนี้ผมก็ยังไม่แน่ใจในคำตอบที่คิดได้สำหรับข้อนี้เลย ผมคิดได้96วิธี
ใครคิดได้เท่าไหร่ ช่วยกันแสดงความเห็นวิธีคิดโจทย์ข้อนี้หน่อยครับ

[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ bell18

ส่วนข้อนี้ก็ยากครับ

"สองครอบครัวซึ่งแต่ละครอบครัวประกอบด้วย พ่อ แม่ และลูก2คน จะต้องถูกจัดให้นั่งรอบโต๊ะกลม8ที่นั่ง
โดยที่เด็กแต่ละคนจะต้องนั่งติดกับพ่อหรือแม่ของตนเอง จะมีจำนวนวิธีจัดได้กี่วิธี"

ถึงตอนนี้ผมก็ยังไม่แน่ใจในคำตอบที่คิดได้สำหรับข้อนี้เลย ผมคิดได้96วิธี
ใครคิดได้เท่าไหร่ ช่วยกันแสดงความเห็นวิธีคิดโจทย์ข้อนี้หน่อยครับ

ได้ไม่เท่ากันครับ ถูกผิดยังไง ช่วยบอกด้วยครับฃ

ให้เป็นครอบครัว $A$ กับ $B$ มีสมาชิกคือ $A_1,A_2,a_1,a_2$ กับ $B_1,B_2,b_1,b_2$ โดยตัวพิมพ์ใหญ่หมายถึงผู้ปกครอง ตัวพิมพ์เล็กหมายถึงลูก
เราเริ่มจากนำผู้ใหญ่ไปนั่งก่อน มีได้ 2 รูปแบบ ก็คือ $ABBA$ กับ $ABAB$ (ความเป็นจริงเป็นแบบวงกลม แต่ในนี้มันวาดลำบากน่ะครับ)

กรณีแรกคือแบบ $ABBA$ เราจัดผปค. ได้ 4 วิธี คือ $A_1B_1B_2A_2$, $A_1B_2B_1A_2$, $A_2B_1B_2A_1$ และ $A_2B_2B_1A_1$
ต่อมา เราก็นำเด็กของแต่ละครอบครัวมานั่ง
พิจารณาครอบครัว $A$ ก่อน จะพบว่ามีที่ให้เด็กนั่งได้ดังนี้: __$A$__$A$__ (ตามขีด)
ก่อนอื่นสังเกตว่าสำหรับช่องซ้ายหรือช่ิองขวา จะสามารถให้เด็กนั่งได้ไม่เกิน 1 คน ในขณะที่ช่องกลางนั่งได้ 2 คน
ดังนั้นแบ่งได้เป็น 2 กรณีย่อยดังนี้
i)นั่งตรงกลางทั้ง 2 คน ก็มีได้ 2 แบบ คือ $a_1a_2$ หรือ $a_2a_1$
ii)ช่องกลางไม่ได้มีเด็กนั่ง 2 คน สำหรับเด็กคนแรก ก็เลือกมา 1 ช่อง ได้ 3 วิธี ส่วนคนที่สอง ก็จะเหลือ 2 ช่องให้เลือก ได้ 2 วิธี รวมเป็น $3\times2=6$ วิธี
รวม 2 กรณีย่อย ได้ $6+2=8$ วิธี
ในทำนองเดียวกัน เราก็นำเด็กของครอบครัว $B$ มานั่ง ได้ $8$ วิธี
สังเกตว่าเราสลับที่เด็กระหว่างครอบครัว A กับ B ไม่ได้ ดังนั้น ในกรณีแรก ก็มีได้ทั้งหมด $4\times8\times8=256$ วิธี

กรณีที่สองคือแบบ $ABAB$ เราจัดผปค. ได้ 2 วิธี คือ $A_1B_1A_2B_2$ กับ $A_1B_2A_2B_1$
ต่อมา เราก็นำเด็กของแต่ละครอบครัวมานั่ง
พิจารณาครอบครัว $A$ ก่อน จะพบว่ามีที่ให้เด็กนั่งได้ดังนี้: __$A$__$B$__$A$__$B$__(ช่องสุดท้ายเป็นช่องเดียวกับช่องซ้ายสุด)
สังเกตว่าแต่ละช่องก็ใส่เด็กได้แค่ 1 คนเท่านั้น สำหรับเด็กคนแรก ก็เลือกมา 1 ช่อง ได้ 4 วิธี ส่วนคนที่สอง ก็จะเหลือ 3 ช่องให้เลือก ได้ 3 วิธี รวมเป็น $4\times3=12$ วิธี
ในทำนองเดียวกัน เราก็นำเด็กของครอบครัว $B$ มานั่ง ได้ $12$ วิธี
สังเกตว่าเราสลับที่เด็กระหว่างครอบครัว A กับ B ไม่ได้ ดังนั้น ในกรณีที่สอง ก็มีได้ทั้งหมด $2\times12\times12=288$ วิธี

รวมทั้งสองกรณี ได้ทั้งหมด $544$ วิธี

[Onasdi]

กรณีแรก ขั้นแรกได้ 4 วิธีครับ $A_1B_1B_2A_2\,\,\,\,A_1B_2B_1A_2\,\,\,\,A_2B_1B_2A_1\,\,\,\,A_2B_2B_1A_1$
ที่เหลือคิดว่าถูกครับ

[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onasdi

กรณีแรก ขั้นแรกได้ 4 วิธีครับ $A_1B_1B_2A_2\,\,\,\,A_1B_2B_1A_2\,\,\,\,A_2B_1B_2A_1\,\,\,\,A_2B_2B_1A_1$
ที่เหลือคิดว่าถูกครับ

ขอบคุณครับ นำไปแก้แล้วครับ

[bell18]

ขอขอบคุณคุณ beginner01 กับคุณ Onasdi มากๆเลยครับ
เพราะคิดหลายครั้งแล้วได้คำตอบไม่เท่ากันซักครั้งเลย
ตอนนี้โอเคแล้วครับ อธิบายได้ดีมากๆ ขอบคุณครับ

[sck]

ทำไม่ข้อสอบ Anet 52 นี้ถึงไม่มีการนำมาเฉลยขายกันนะ อยากเห็นข้อสอบเต็มๆนานละ
ใครพอจะมีตัวข้อสอบเต็มๆบ้างไหมครับ

[akungs]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kanji

ผมติดอยู่ข้อหนึ่งครับ ช่วยคิดหน่อยนะครับ

กำหนดให้ $r=\{(x,y) \,\,| \,x>0 , x\ne y , x-\sqrt[3]{x}=y-\sqrt[3]{y}\}$

สมาชิกค่ามากที่สุดของ $D_r$ เท่ากับข้อใด

1. $\frac{4}{3\sqrt{3}}$ 2. $\frac{8}{3\sqrt{3}}$
3. $\frac{4}{9}$ 4. $\frac{8}{9}$

ผมคิดว่างี้นะครับ
คนออกข้อสอบคงคิดว่า ให้เราแทนค่าเลขที่เรารู้ดีและสอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าว
คือ x=1,y=-1 จะได้ $\sqrt[3]{1} -\sqrt[3]{-1}=1-(-1)$ จริง แต่ x นี้อาจไม่มากที่สุด
ด้วยการสังเกตดังกล่าว พบว่า ในchoice มีเพียงข้อ ข. ข้อเดียวเท่านั้นที่เกิน 1
โดเมนที่มากที่สุด จึงควรตอบข้อ ข. ครับ

ปล. ถูกผิดอย่างไรบอกกันด้วยนะครับ