โจทย์ฝึกทักษะ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

Attachment 8850
สมการ$y^2-10x+29\rightarrow y=(x-5)^2+4$ เป็นกราฟพาราโบล่าหงายมีจุดยอดที่พิกัด$(5,4)$

สมการ$y=-x^2+14x-41\rightarrow y=-(x-7)^2+8$ เป็นกราฟพาราโบล่าคว่ำมีจุดยอดที่พิกัด$(7,8)$

สังเกตเห็นว่าจุดยอดทั้งสองเป็นพิกัดที่อยู่บนกราฟพาราโบล่าทั้งสอง ดังนั้นจุดA,B คือจุดทั้งสอง

$PA=PB\rightarrow (8-y)^2+(7-x)^2=(y-4)^2+(x-5)^2$

ได้$2y=18-x$ แทนค่าในสมการ $x^2-10x+29$ ได้ $x=2,\frac{15}{2}$ แต่ $5<x<9$


$\therefore 4x=4(\frac{15}{2})=30$ ไม่มีในตัวเลือก

แทนค่า แล้วแก้สมการผิด

[artty60]

โอ๊ะ! ช่างเป็นไปได้เห็น $58-18=30??!!$ ขออภัยอย่างแรง

ใช่แล้วครับคำตอบคือ ข้อ.ก $19+\sqrt{41}$


$2a+b=29\rightarrow a<15$

กรณี $a+b$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ที่เป็นไปได้คือ $1,4,9,16,25 \rightarrow a+b=4+21;13+3$

ถ้าเป็นกำลังสามสมบูรณ์ จะเป็น $1,8,27\rightarrow 2+25$ มีกรณีเดียว

กรณี $a-b$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ที่เป็นไปได้คือ $a-b=10-9;11-7$

ถ้าเป็นกำลังสามสมบูรณ์ จะได้ $7-15;10-9$

เพราะฉะนั้น ตอบข้อ. ข

[artty60]

ข้อ.34 ค่าสูงสุดคือ $A=\sqrt{2(n-m)}$

ค่าต่ำสุดคือ $B=\sqrt{n-m}$ โดยใช้วิธี integrate ซึ่งเป็นความรู้ของม.5

จะขอบคุณมากหากมีใครช่วยคิดด้วยวิธีของม.ต้นให้ดูหน่อย

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ข้อ.34 ค่าสูงสุดคือ $A=\sqrt{2(n-m)}$

ค่าต่ำสุดคือ $B=\sqrt{n-m}$ โดยใช้วิธี integrate ซึ่งเป็นความรู้ของม.5

จะขอบคุณมากหากมีใครช่วยคิดด้วยวิธีของม.ต้นให้ดูหน่อย

จะแสดง วิธีแบบ ม.ต้นให้ดู
ให้ $y=\sqrt{x-m}+\sqrt{n-x}$

$y^2=n-m+\sqrt{-x^2+(m+n)x-mn}$

ต่ำสุดเมื่อ $-x^2+(m+n)x-mn=0$ ; $x=m$ หรือ $x=n$
สูงสุดเมื่อ $-x^2+(m+n)x-mn$ เกิดค่าสูงสุด คือ เมื่อ$x=\frac{m+n}{2}$

[artty60]

แล้วที่โจทย์กำหนด $n>x>m$ ล่ะครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

แล้วที่โจทย์กำหนด $n>x>m$ ล่ะครับ

ใช้ bound ค่า x ไม่ให้ใน square root ติดลบ
กันพวกหัวหมอ แทนค่า x เกินขอบแล้วบอกหาค่าไม่ได้ เป็นเชิงซ้อน

[artty60]

ขอบคุณครับ แต่ทำไมไม่เป็น $n\geqslant x\geqslant m$ ล่ะครับ



$a+1-ax=\frac{1}{a}(a-1-x)$

$x=\frac{a^2+1}{a^2-1}$

$(ax+y)(x-ay)=(a+1)[2(\frac{a^2+1}{a^2-1})+1-a]$

$=\frac{(-a^3+3a^2+a+1)}{a-1}$

ถ้า $x=2$ จะได้ค่าเท่ากับ7

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ขอบคุณครับ แต่ทำไมไม่เป็น $n\geqslant x\geqslant m$ ล่ะครับ

ก็จริงนะ ไม่รู้จะตอบยังไง แฮะ



$a+1-ax=\frac{1}{a}(a-1-x)$

$x=\frac{a^2+1}{a^2-1}$

$(ax+y)(x-ay)=(a+1)[2(\frac{a^2+1}{a^2-1})+1-a]$

$=\frac{(-a^3+3a^2+a+1)}{a-1}$

ถ้า $x=2$ จะได้ค่าเท่ากับ7 คงเป็น a=2 สินะ

โกง!!! นี่นา

[artty60]

จากโจทย์จะได้$x_1+x_2=-30\rightarrow$ และ $x_1x_2=(a+10)^2+b$

แทนค่า$x_2=-(x_1+30)$ ในสมการจะได้ $ x_1^3-20x_1=-(x_1+30)$

$x_1^3-19x_1=-30\rightarrow x_1(x_1^2-19)=(-5)(6)$ หรือ $=(2)(-15)$

$x_1=2,-5$ และ $x_2=-32,-25$

เนื่องจากโจทย์กำหนด $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ค่า $(a+10)^2+b$ เป็นบวก ดังนั้นค่าของ $x_1=2,x_2=-32$ จึงใช้ไม่ได้

ค่าที่ใช้ได้จึงเป็น $x_1=-5,x_2=-25\rightarrow (a+10)^2+b=125=(121+4)$ หรือ $(100+25)$

จะได้ว่า$a,b=1,4$ หรือ $0,25$

ก็จะได้ $abx_1x_2=500; 0$ แต่มีเพียง 500 ที่มีในตัวเลือก

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

จากโจทย์จะได้$x_1+x_2=-30\rightarrow$ และ $x_1x_2=(a+10)^2+b$

แทนค่า$x_2=-(x_1+30)$ ในสมการจะได้ $ x_1^3-20x_1=-(x_1+30)$

$x_1^3-19x_1=-30\rightarrow x_1(x_1^2-19)=(-5)(6)$ หรือ $=(2)(-15)$

$x_1^3-19x_1=-30$
$(x_1-2)(x_1-3)(x_1+5)=0$
$x_1=2,-5$ และ $x_2=-32,-25$ $(x_1,x_2)=(2,-32),(3,-33),(-5,-25)$

เนื่องจากโจทย์กำหนด $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ค่า $(a+10)^2+b$ เป็นบวก ดังนั้นค่าของ $x_1=2,x_2=-32$ จึงใช้ไม่ได้ $x_1=-3,x_2=-33$ ด้วย

ค่าที่ใช้ได้จึงเป็น $x_1=-5,x_2=-25\rightarrow (a+10)^2+b=125=(121+4)$ หรือ $(100+25)$

จะได้ว่า$a,b=1,4$ หรือ $0,25$ ไม่ต้องเอา a=0 ก็ได้ ไม่อยู่ในเงื่อนไข

ก็จะได้ $abx_1x_2=500; 0$ แต่มีเพียง 500 ที่มีในตัวเลือก $คำตอบมีแค่ 500$

แก้ไขให้ครบถ้วนขึ้น

[artty60]

ขอบคุณมากครับ

[yellow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ขอบคุณครับ แต่ทำไมไม่เป็น $n\geqslant x\geqslant m$ ล่ะครับ

ก็เพราะ ถ้ากำหนดแบบนี้ B ก็จะเป็น 0 ครับ ซึ่งจะหา $\frac{A}{B}$ ไม่ได้

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

โกง!!! นี่นา

ช่วยกรุณาแสดงวิธีที่ไม่โกงให้ดูหน่อยครับ

[Scylla_Shadow]

จากระบบสมการ
$ax+y=a+1$
$x+ay=a-1$

แก้โดยปกติ ได้ $x=\frac{a^2+1}{a^2-1}$
$y=\frac{a^2-2a-1}{a^2-1}$

แต่ x เป็นจำนวนบวก จะได้ค่า a อยู่ในช่วง...
แต่ y เป็นจำนวนลบ จะได้ค่า a อยู่ในช่วง
แล้วจำนวนเต็ม a ในช่วง...
ดังนั้น a=... แก้ระบบสมการพบว่า
จะได้ x=...,y=...
ดังนั้น $(ax+y)(x-ay)=...$

[artty60]

ขอบคุณครับ