cos(2558 arctan 2) ช่วยด้วยครับ

[Brownian]

จงพิสูจน์ว่า. $$\cos (2558 \arctan 2 )=\frac{1- (\matrix{2558 \\ 2})2^2+(\matrix{2558 \\ 4})2^4-(\matrix{2558 \\ 6})2^6+...-2^{2558}}{5^{1279}} $$

[polsk133]

ให้ $z=cos(arctan2)+isin(arctan2)$

ดังนั้น $z=1/\sqrt5 +2i/\sqrt5$

พิจารณาส่วนจริงของ $z^{2558}$ ดูครับ

[Brownian]

มีวิฑีอื่นอีกป่าวคับ

[armpakorn]

ได้ไอเดียจากคุณ polsk133

ให้ $z = cos(arctan2) + isin(arctan2)$
จะได้ $z = \frac{1 + 2i}{\sqrt{5}}$
และ $z^{2558} = \frac{(1 + 2i)^{2558}}{5^{1279}} = cos(2558 arctan2) + isin(2558 arctan2)$
กระจายด้วยทฤษฎีบททวินาม
$(1+2i)^{2558}= \sum_{k = 0}^{2558} \binom{2558}{k} 1^{2558-k}(2i)^k$
$ = \binom{2558}{0}(2i)^0 + \binom{2558}{1}(2i)^1 + \binom{2558}{2}(2i)^2 + \binom{2558}{3}(2i)^3 + \binom{2558}{4}(2i)^4 + ... + (2i)^{2558}$
$ = 1 + \binom{2558}{1}2i - \binom{2558}{2}2^2 - \binom{2558}{3}2^3i + \binom{2558}{4}2^4 + ... - 2^{2558}$

จะได้

$z^{2558} = \frac{1 + \binom{2558}{1}2i - \binom{2558}{2}2^2 - \binom{2558}{3}2^3i + \binom{2558}{4}2^4 + ... - 2^{2558}}{5^{1279}}$

แต่ว่า cos(2558arctan2) คือส่วนจริงของ $z^{2558}$ ดังนั้น

$cos(2558arctan2) = \frac{1 - \binom{2558}{2}2^2 + \binom{2558}{4}2^4 - \binom{2558}{6}2^6 + ... - 2^{2558}}{5^{1279}}$

[armpakorn]

ลองต่อยอดหารูปทั่วไป
ให้ $z = cos(1) + isin(1)$
ดังนั้น $z^x = (cos(1) + isin(1))^x = cos(x) + isin(x)$
$(cos(1) + isin(1))^x = \binom{x}{0}cos(1)^x + \binom{x}{1}cos(1)^{x-1}(isin(1))^{1} + \binom{x}{2}cos(1)^{x-2}(isin(1))^{2} + \binom{x}{3}cos(1)^{x-3}(isin(1))^{3} + \binom{x}{4}cos(1)^{x-4}(isin(1))^{4} + ... + \binom{x}{x}(isin(1))^{x}$
$= cos(1)^x + i\binom{x}{1}cos(1)^{x-1}sin(1) - \binom{x}{2}cos(1)^{x-2}sin(1)^{2} - i\binom{x}{1}cos(1)^{x-3}sin(1)^3 + \binom{x}{4}cos(1)^{x-4}sin(1)^{4} + ... + i^xsin(1)^x$
จะได้
$cos(x) = cos(1)^x - \binom{x}{2}cos(1)^{x-2}sin(1)^2 + \binom{x}{4}cos(1)^{x-4}sin(1)^4 + ... + \cases{sin(1)^x &, x mod 4 = 0 \cr -cos(1)^{x-1} &, x mod 4 = 1 \cr -sin(1)^x &, x mod 4 = 2 \cr cos(1)^{x-1} &, x mod 4 = 3}$
และ
$sin(x) = \binom{x}{1}cos(1)^{x-1}sin(1) - \binom{x}{3}cos(1)^{x-3}sin(1)^3 + \binom{x}{5}cos(1)^{x-5}sin(1)^5 + ... + \cases{-cos(1)^{x-1} &, x mod 4 = 0 \cr sin(1)^{x} &, x mod 4 = 1 \cr cos(1)^{x-1} &, x mod 4 = 2 \cr -sin(1)^x &, x mod 4 = 3}$