ช่วยแก้ให้หน่อยครับ

[bakured]

เป็นโจทย์ภาษาอังกฤษนะครับอยากให้ช่วยพิสูจน์หน่อยครับ

1. for which real value of X the following inequality holds $\frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2 }$<2x+9 ?

2. prove that for sny positive integer n, the fractional part of $\sqrt{4n^2+n}$ is smaller than
$\frac{1}{4}$

3 find the maximum value of x(1-$x^3$) for 0$\leqslant$x $\leqslant$1

4.a,b,c>0 prove that 1/a + 1/b + 1/c $\geqslant $ 2$(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c} )$ $\geqslant$ $\frac{9}{a+b+c}$

5.Let x1,x2,...,xn > 0
such that $\frac{1}{1+x1}+\frac{1}{x2}+...+\frac{1}{xn}$=1
prove that x1$\cdot$x2$\cdot$....$\cdot$xn $\geqslant $ $(n-1)^n$

6.Let a1,a2,...,an be positive numbers
with a1+a2+...+an <1 prove that
$\frac{a1Xa2...an[1-(a1+a2+...+an)] }{(a1+a2+..+an)(1-a1)(1-a2)...(1-an)}$
$\leqslant $ $\frac{1}{n^n+1}$
รบกวนขอแนวคิดด้วยครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ bakured

เป็นโจทย์ภาษาอังกฤษนะครับอยากให้ช่วยพิสูจน์หน่อยครับ

1. for which real value of X the following inequality holds $\frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2 }$<2x+9 ?

2. prove that for sny positive integer n, the fractional part of $\sqrt{4n^2+n}$ is smaller than
$\frac{1}{4}$

3 find the maximum value of x(1-$x^3$) for 0$\leqslant$x $\leqslant$1

4.a,b,c>0 prove that 1/a + 1/b + 1/c $\geqslant $ 2$(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c} )$ $\geqslant$ $\frac{9}{a+b+c}$

5.Let x1,x2,...,xn > 0
such that $\frac{1}{1+x1}+\frac{1}{x2}+...+\frac{1}{xn}$=1
prove that x1$\cdot$x2$\cdot$....$\cdot$xn $\geqslant $ $(n-1)^n$

6.Let a1,a2,...,an be positive numbers
with a1+a2+...+an <1 prove that
$\frac{a1Xa2...an[1-(a1+a2+...+an)] }{(a1+a2+..+an)(1-a1)(1-a2)...(1-an)}$
$\leqslant $ $\frac{1}{n^n+1}$
รบกวนขอแนวคิดด้วยครับ

ข้อ 4 ผมทำเเบบนี้อ่ะครับ
พิจารณา จาก A.M.-H.M. จะได้ $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geqslant \frac{4}{a+b}$
ในทำนองเดียวกัน $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{4}{b+c}$ , $\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\geqslant\frac{4}{c+a}$ เเล้วบวกกันครับ จะได้ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant2(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})$ เเล้วพจน์ท้ายสุดก็จริงครับ (จาก A.M.-H.M.) เหมือนกัน

[จูกัดเหลียง]

ข้อเเรกก็ มองเป็น
$\frac{1^2-(\sqrt{2x+1})^2}{1-\sqrt{2x+1}}=1+\sqrt{2x+1}$
อ่ะครับ

[Keehlzver]

ข้อ 1 เป็นโจทย์ IMO ปีเก่าๆ ปี 1960 ลองไปค้นๆดูครับ


ข้อ 2 ให้ $[x]$ แทนส่วนที่เป็นจำนวนเต็มของ $x$ และ $(x)$ แทนส่วนที่เป็นทศนิยมของ $x$ (ผมกำหนดขึ้นมาเอง จริงๆ เขาใช้สัญลักษณ์ปีกกาเเต่มันดันพิมพ์ไม่ติด)
จะได้ว่า $x=[x]+(x)$
จากโจทย์ $\sqrt{4n^2+n}=\sqrt{n^2(4+\frac{1}{n})}=n\sqrt{4+\frac{1}{n}}$
ถ้า $n=1$ จบ...
สมมติ $n>1$ จะได้ว่า $[n\sqrt{4+\frac{1}{n}}]=2n$
เพราะฉะนั้น $(n\sqrt{4+\frac{1}{n}})=n\sqrt{4+\frac{1}{n}}-[n\sqrt{4+\frac{1}{n}}]=\sqrt{4+\frac{1}{n}}-2n$
สมมติว่า $n\sqrt{4+\frac{1}{n}}-2n \geq \frac{1}{4}$
$n\sqrt{4+\frac{1}{n}}\geq 2n+\frac{1}{4}$
เมื่อนำมายกกำลังสองจะได้ว่า $0\geq \frac{1}{16}$ ขัดแย้ง
ดังนั้นที่สมมติว่า $\sqrt{4+\frac{1}{n}}-2n \geq \frac{1}{4}$ ไม่จริง
เพราะฉะนั้น $\sqrt{4+\frac{1}{n}}-2n < \frac{1}{4}$ ตามต้องการ


ข้อ 3
ให้ $z=|x^n-x^m|$ $m,n$ เป็นจำนวนเต็มบวก $0< x <1$ โดยไม่เสียนัยสมมติ $m>n$ จะได้ $z=|x^m-x^n|=x^n-x^m$
จะหาค่าสูงสุดของ $z$

ให้ $y=x^{m-n}$ โดยอสมการ Weight AM-GM
\[\begin{array}{cl}
& x^n-x^m \\
= & x^n(1-x^{m-n}) \\
= & y^{\frac{n}{m-n}}(1-y) \\
= & (y^n(1-y)^{m-n})^\frac{1}{m-n} \\
= & ((\frac{n}{m-n})^n(\frac{m-n}{n}y)^n(1-y)^{m-n})^{\frac{1}{m-n}} \\
= & (\frac{n}{m-n})^{\frac{n}{m-n}}((\frac{m-n}{n}y)^n(1-y)^{m-n})^{\frac{1}{m-n}} \\
\leq &(\frac{n}{m-n})^{\frac{n}{m-n}}(\frac{n\cdot(\frac{m-n}{n}y)+(m-n)(1-y)}{n+m-n})^{\frac{n+m-n}{m-n}} \\

\end{array} \]

จัดรูปต่อจะได้ว่า $x^n-x^m \leq (m-n)(\frac{n^n}{m^m})^{\frac{1}{m-n}}$ อสมการจะเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $x=(\frac{n}{m})^{\frac{1}{m-n}}$
ในโจทย์คือกรณีที่ $n=1$ และ $m=4$
เพราะฉะนั้น $x-x^4 \leq (4-1)\sqrt[3]{\frac{1}{4^4}}=4.72$ เกิดขึ้นเมื่อ $x=\frac{1}{4}^{\frac{1}{3}}$

[Amankris]

ข้อ 5
ไม่เข้าใจเงื่อนไข

ข้อ 6
X คืออะไร