ค่าต่ำสุดของสมการส่วนกลับไดโอฯ

[Keehlzver]

ให้ $x,y,z$ เป็ฯขจำนวนเต็มบวกที่ $x>y>z$ โดยที่ $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{z^2}$
จงหาค่าต่ำสุดของ $x^2+y^2+z^2$

ที่ผมคิดไว้

ถ้า $(x,y,z)=(a,b,c)$ เป็นคำตอบของสมการแล้ว $(ak,bk,ck)$ เป็นคำตอบของสมการด้วย
ต้องเลือกให้ $(a,b,c)$ ที่เป็นคำตอบมีค่าน้อยที่สุด

คำตอบหนึ่งของสมการคือ $(x,y,z)=(\sqrt{\frac{(m^2-n^2)(m^2+n^2)}{2mn}},\sqrt{\frac{2mn(m^2+n^2)}{m^2-n^2}},\sqrt{\frac{2mn(m^2-n^2)}{m^2+n^2}})$

แต่ $x,y$ สลับที่กันได้ จะได้อีกคำตอบคือ $(x,y,z)=(\sqrt{\frac{2mn(m^2+n^2)}{m^2-n^2}},\sqrt{\frac{(m^2-n^2)(m^2+n^2)}{2mn}},\sqrt{\frac{2mn(m^2-n^2)}{m^2+n^2}})$

เลือกคู่อันดับที่ $x>y>z$ และเลือกให้ $m>n$ ที่ทำให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ $(x,y,z)$ สอดคล้องสมการโจทย์

แต่โจทย์ถามหา $x^2+y^2+z^2$ ที่มีค่าน้อยที่สุด
เลือกให้ $x^2+y^2+z^2$ มีค่าต่ำสุดที่สอดคล้องสมการ $(zx)^2+(yz)^2=(xy)^2$
ตอบอะไรผมก็ไม่รู้เหมือนกัน ได้ว่า $(x,y,z)=(20,15,12)$ เป็นคำตอบก็จริง
แต่ไม่รู้ว่าเป็นค่าที่ทำให้ $x^2+y^2+z^2$ ต่ำสุดจริงหรือเปล่า.......

[Anarist]

ถูกทางแล้วล่ะครับ จาก $(zx)^2+(yz)^2=(xy)^2$
มันต้องมาจาก Pythagorean triple นั่นคือ
$(zy , zx, xy) = (d (m^2 - n^2 ), d(2mn), d(m^2+n^2))$
โดย $m,n$ coprime และ $m + n$ odd

แล้วก็แก้ต่อได้ว่า
$ (x^2,y^2,z^2) = (d \frac{2mn(m^2+n^2)}{m^2-n^2},d \frac{(m^2-n^2)(m^2+n^2)}{2mn},d \frac{2mn(m^2-n^2)}{m^2+n^2} )$

สังเกตุว่า $m^2 - n^2 , 2mn, m^2+n^2$ มัน pairwise coprime
ดังนั้น $(m^2 - n^2)(2mn)( m^2+n^2) $ ต้องหาร $d$ ลงตัว
คำตอบทั่วไปจึงอยู่ในรูป

$(x,y,z) = (k (2mn)(m^2 + n^2) , k(m^2-n^2)(m^2+n^2), k(2mn)(m^2-n^2))$
ซึ่งน้อยสุดที่ $k=1$ และ $(m,n) = (2,1)$ หรือมาจาก $3,4,5$ นั่นเอง