โจทย์สพฐ. รอบ2 2555

[math magic]

มีใครมีวิธีเร็วกว่านี้ไหมครับ
ข้อ 10
จำนวนคี่ 3 จำนวนเรียงติดจ่อกัน
แสดงว่า (2n+1)

[math magic]

มีใครมีวิธีเร็วกว่านี้ไหมครับ
ข้อ 10
จำนวนคี่ 3 จำนวนเรียงติดจ่อกัน
แสดงว่า (2n+1)^2 + (2n+3)^2 + (2n+5)^2
= 12n^2 + 36n + 35 = จำนวนเลข4จำนวน
แทน 1111 - 9999 ในสมการ
ได้ 4444 ทำให้สมการนี้มีคำตอบเป็นจำนวนจริง
ตอบ 4444

[math magic]

ช้อ 5
x^2 - y^2 = 45
\left(\,\right) x-y \left(\,\right) x+y = 45
ซื่ง 45 = 9\times 5
3\times 15
15\times 1
แก้สมการได้
x,y มี2คำตอบ

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ math magic

มีใครมีวิธีเร็วกว่านี้ไหมครับ
ข้อ 10
จำนวนคี่ 3 จำนวนเรียงติดจ่อกัน
แสดงว่า (2n+1)^2 + (2n+3)^2 + (2n+5)^2
= 12n^2 + 36n + 35 = จำนวนเลข4จำนวน
แทน 1111 - 9999 ในสมการ
ได้ 4444 ทำให้สมการนี้มีคำตอบเป็นจำนวนจริง
ตอบ 4444

ผมคิดว่า ไม่น่าใช่นะครับ

$12n^2+36n+35 = 4444$

$12n^2+36n-4409 = 0$

http://www.wolframalpha.com/input/?i...36x-4409+%3D+0

[polsk133]

20. 12หลัก 1,4,7 หารด้วย 12 ลงตัว แสดงว่าหารด้วย 3,4 ลงตัว

จากหารด้วย 4 ลงตัว แสดงว่าสองหลักสุดท้ายคือ 44

จากหารด้วย 3 ลงตัว แสดงว่าเลขโดดบวกกันหารด้วย 3 ลงตัว

จาก 1,4,7 หารด้วย 3 เหลือเศษ 1 เหมือนกัน ดังนั้น 10หลักแรกเป็นตัวไหนก็ได้ เลยได้ $3^{10}$ แบบ

$P=\frac{3^{10}}{3^12}=1/9$
$144P=16$

[polsk133]

7 9 12 15 16 18 22 23 24 27 28 29

คือข้อที่ยังไม่มีใครทำนะครับ

[polsk133]

Hint
23. ได้ p เป็น ค.ร.น. ของ ........

[Reawten]

ข้อ28ครับ


จากที่ มุมABC=100 องศา
และ มุมCDA=130 องศา

นั่นหมายความว่ามุมกลับของ ABC=360-100=260 องศาครับ
และอีกทั้งด้าน AB=AC=3 แล้ว
แสดงว่า สี่เหลี่ยม ABCD สามารถนำไปใส่ในวงกลมได้โดยให้จุดBเป็นจุดศูนย์กลาง
และให้ด้าน AB,BC เป็นรัศมีครับ(เนื่องจากมุมที่จุดศูนย์กลาง=2เท่าของมุมที่คอร์ด)
ทำให้ด้าน BD กลายเป็นรัศมีของวงกลมครับ
ทำให้ BD=3 หน่วยครับ

[banker]

จากการลากเส้นและพิสูจน์ จะได้ว่า ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า สูง = 6 ฐาน = $4\sqrt{3}$

พื้นที่ = $\frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} \times 6 = 12\sqrt{3} = a\sqrt{b} $

$a+b = 15$



พิสูจน์


เชื่อมเส้น AN, FD

DMN = x --> DMF = 2x ---> DNC = 3x

AMN = 2y ---> AMF = 4y ---> ANC = 6 y ---> ANE = CNE = 3y

พื้นที่สามเหลี่ยม ADE = พื้นที่สามเหลี่ยม DCE ---> x+5y = 3x+3y ---> x =y

จะได้ว่า AM : MD = 2 : 1

$\frac{AF}{FB} + \frac{AE}{EC} = \frac{AM}{MD}$

$\frac{AF}{FB} + \frac{1}{1} = \frac{2}{1} \ \ \to \ AF = FB \ \ \to CAB \ $เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มี C เป็นมุมยอด

ทำนองเดียวกัน จะได้ว่า ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มี A เป็นมุมยอด

ดังนั้น ABC เป็นสาเหลี่ยมด้านเท่า ที่มีส่วนสูง = 3+1+2 = 6 และมีฐาน = $4 \sqrt{3}$

พื้นที่ = $\frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} \times 6 = 12\sqrt{3} = a\sqrt{b} $

$a+b = 15$

[banker]

จำนวนตั้งแต่ 1 ถึง 1000 มีกี่จำนวนที่หารด้วย 5 หรือ 9 ลงตัว แต่ไม่เอาที่ทั้งคู่หารลงตัว

แปลถูกหรือเปล่า

จำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัว มี 200 จำนวน

จำนวนที่หารด้วย 9 ลงตัว มี 111 จำนวน

จำนวนที่หารด้วย 45 ลงตัวมี 22 จำนวน

ถ้าไม่นับ 45 ก็เอา 45 ออกจาก 5 ที่นับไปด้วย และเอาออกจาก 9 ที่นับไปด้วย จึงเหลือ 200+111 - 45 -45 = 221 จำนวน

ยังงงๆ ไม่รู้ถูกหรือเปล่า

[banker]

แดง x ดอก, ขาว y ดอก

2x + y = 3200

2x = 3200 - y

จะได้ว่า ถ้า y = 1598 ดอก ---> x = 801 ดอก รวม 2399 ดอก

ถ้า y = 802 ดอก ---> x = 1199 ดอก รวม 2001 ดอก

ตอบ 1199 ดอก

[banker]

$\frac{AM}{MB} = \frac{a}{b} = \frac{20x}{8x} = \frac{5}{2}$

$a^2+b^2 = 5^2+2^2 = 29$

[banker]

สามเหลี่ยม PQR คล้าย สามเหลี่ยม QBC (มมม)

จะได้อัตราส่วนด้าน 1 : 2 ---> PR = x, BQ = 2x, QR =y QC = 2y

$\frac{1}{2} y \cdot 2y = 90$

$y^2 = 90 = x^2 +9^2 $

$x = 3$



สามเหลี่ยม ARP คล้ายสามเหลี่ยม ABC (มมม)

$\frac{3}{18} = \frac{n}{6+9+n}$

$n = 3$

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ข้อ7ตอบ36องศาหรือครับ

[banker]

จากการไล่มุมให้อยู่ในรูป z ตารางกลาง จะได้ว่า z = 13

และผลรวมตามแนวต่างๆเท่ากับ 27

จะได้ว่า a=11, b = 15 c=7

x=7, y=5, z=13

x+y+z = 25

$a^2+b^2+c^2 =121+225+49= 395$

x+y+z น้่อยกว่า $a^2+b^2+c^2 $ อยู่ 370