รังนกพิราบ&000...01

[กระบี่ทะลวงด่าน]

ให้ a เป็นจำนวนเต็มซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 2 เเละ 5 จงเเสดงว่า $n\in \aleph$ ใดๆ จะต้องมี $x\in \aleph $
ซึ่ง n ตำเเหน่งสุดท้ายของ $a^x$ คือ 00...01(0 จำนวนn-1 ตัว)

[Euler-Fermat]

a เป็นจนเต็ม ซึ่ง $(a,10) = 1$
$a^x$ มีเป็นจำนวนอนันต์ แต่เซต ที่เป็น เศษ ของ $mod 10^n$ มีเพียง $10^n$ ตัว
ดังนั้น จากหลักรังนกพิราบจะได้ว่า มี บาง i และ j ที่ ทำให้ $a^i \equiv a^j (mod 10^n)$ โดย$ i>j$
$a^i \equiv a^j (mod 10^n)$
$a^i -a^j \equiv 0 (mod 10^n)$
$a^j[a^{i-j} -1] \equiv 0 (mod 10^n)$
แต่ จาก $(a,10) =1$ ดังนั้น
$[a^{i-j} -1] \equiv 0 (mod 10^n)$
แสดงว่า n ที่เป็นจำนวนนับ ใดๆ จะต้องมี x เป็นจำนวนนับ
ซึ่ง n ตำเเหน่งสุดท้ายของ $a^x คือ 00...01$