โจทย์จน.กำลังสองสมบรณ์

[[FC]_Inuyasha]

จงแสดงวิธีทำเพื่อ
$1.หาว่ามีจน.เต็มบวก n กี่จำนวนที่ทำให้ 3^{n}+81 เป็นจน.กำลังสองสมบูรณ์$
$2.หาว่ามีจน.เต็มบวก n กี่จำนวนที่ทำให้ n^{2}+n+1|n^{2010}+20$
$3.จงหาผลบวกของจน.เต็มบวก n ที่ทำให้ n^{3}+7n-133=m^{3} (โดยที่ m เป็นจน.เต็มบวก)$

[Amankris]

1). ทำเป็นสมการผลต่างกำลังสอง

2). ลองดูว่า $x^{2010}$ หารด้วย $x^2+x+1$ เหลือเศษเท่าไร

3). จัดรูปสมการใหม่ แล้วหาค่าที่มากที่สุดของ n

[[FC]_Inuyasha]

1. $3^{n}+81=m^{2}$
$3^{n}=(m+9)(m-9)$
$n=4k+1 หรือ n=4k+2 (ดูจากเลขท้าย)$
ได้แค่นี้อ่ะครับ
2.ได้ว่า $n^2+n+1|21$
3.จัดรูปยังไงอ่ะครับ $m^{3}-n^{3}=7(n-19)$ ?
ถ้าเป็นไปได้ ช่วยใบ้อีกหน่อยครับ

[Amankris]

$1).$ น่าจะลดรูปสมการได้ดีกว่านี้นะครับ

$2).$ ถูกแล้วครับ น่าจะไปต่อเองได้

$3).$ จัดรูปถูกแล้วครับ ให้พิจารณากรณี $m>n , m=n , m<n$ ตามลำดับ

[Dark matter]

ลองดูว่า x^2010 หารด้วย x^2+x+1 เหลือเศษเท่าไร

1หรือเปล่าครับ

ถ้าใช่เพราะอะไรครับ

[Amankris]

ลองจับหารยาวดูก็ได้นะครับ

ตั้งสมการการหารครับ

[[FC]_Inuyasha]

3. กรณี $m>n กับ m<n$ จะตั้งสมการเพื่อหา$(m,n)$ยังไงครับ
1. เฉลยเลยดีกว่าครับ จนปัญญา

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [FC]_Inuyasha

3. กรณี $m>n กับ m<n$ จะตั้งสมการเพื่อหา$(m,n)$ยังไงครับ
1. เฉลยเลยดีกว่าครับ จนปัญญา

$1).$
$3^n+81=x^2$
case $n=1,2,3,4$ ; No Solution
case $n\geqslant 5$

Hide

จัดรูปสมการใหม่เป็น $3^{n-4}=(t-1)(t+1)$
แต่ $\gcd(t-1,t+1)\leqslant 2$
ดังนั้น $t-1=1$

$3).$

Hide

จัีดรูปเป็น $7(n-19)=(m-n)(m^2+mn+n^2)$

[[FC]_Inuyasha]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

$1).$
$3^n+81=x^2$
case $n=1,2,3,4$ ; No Solution
case $n\geqslant 5$
จัดรูปสมการใหม่เป็น $3^{n-4}=(t-1)(t+1)$
แต่ $\gcd(t-1,t+1)\leqslant 2$
ดังนั้น $t-1=1$

$3).$จัีดรูปเป็น $7(n-19)=(m-n)(m^2+mn+n^2)$[

2. งงตรงสีแดงครับ (สมการใหม่มาได้อย่างไร/ $t-1=1$ ค่าเดียวหรือครับ)
3. สมการนี้ผมด้แล้ว แต่ติด กรณี $m>n$ กับ $m<n$

[Amankris]

ตอบ #9

$1).$ หารด้วย $81$ ทั้งสองข้าง >_<

$3).$
case $m>n$
$7(n-19)>n^2+n+1$ ; No Solution

[Influenza_Mathematics]

ผมว่าคุณ Amankris อธิบายละเอียดละนะครับ >_< คือไอที่คิดไม่ได้นี่คิดกี่วันหรอครับ

[[FC]_Inuyasha]

ผมฉลาดไม่พอมั้งครับ เลยไม่เข้าใจ

อีกคำถามครับ จะรู้ได้อย่างไรว่า $t-1=1$ ค่าเดียว

[Amankris]

#12
เพราะว่า $3\nmid t-1$ ครับ

[[FC]_Inuyasha]

กรณี $m<n ;7(n-19)=(m-n)(m^{2}+mn+n^{2})<0 /เนื่องจาก m-n<0/$
$n<19$
มาแบบนี้ใช่ไหมครับ

[Amankris]

#14

$m-n<0$ นะครับ = ="