เวกเตอร์ ม.5 (ช่วยด้วยคะ)

[คิม แต ฮี]

โจทย์
ให้ $\overline{u}=2\overline{i} +3\overline{j} +\overline{k},\overline{v}= -3\overline{i}+2\overline{j} และ \overline{w} = -2\overline{j}+3\overline{k}$

พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. $\overline{u}$ ตั้งฉากกับ $\overline{v}$
ข. มุมระหว่าง $\overline{u}$ กับ $\overline{w}$ เป็นมุมแหลม

ถามว่า.. ข้อ ข. จะพิสูจน์ทราบได้อย่างไร ว่าเป็นมุมแหลมหรือเปล่าคะ ตรงนี้ไม่เข้าใจว่าทำอย่างไร

ถ้าเราทำอย่างนี้ได้ไหมคะ
$\overline{u}\cdot\overline{v}=\left|\,\right. \overline{u}\left|\,\right| \overline{w}\left.\,\right| cos\theta$

$\overline{u} \cdot \overline{w} = \left[\,\right. \frac{2}{\frac{3}{1}}\left.\,\right] \left[\,\right. \frac{0}{\frac{-2}{3} } \left.\,\right] = -6+3 = -3 $

$\left|\,\right. \overline{u} \left|\,\right. =\sqrt{2^2+3^2+1^2} =\sqrt{14}$

$\left|\,\right. \overline{w} \left|\,\right. =\sqrt{(-2)^2+3^2} =\sqrt{13}$

$\therefore \overline{u}\cdot\overline{v}=\left|\,\right. \overline{u}\left|\,\right| \overline{w}\left.\,\right| cos\theta$

$-3 = \sqrt{14} \sqrt{13} cos\theta$

$cos\theta = \frac{-3}{\sqrt{14} \sqrt{13}} $

ทำอย่างนี้ได้ไหมคะ ..ถ้าได้แล้วจะทราบว่าเป็นมุมแหลม ยังไง งง จังคะ

[lek2554]

มุมระหว่างเวกเตอร์ จะคิดในช่วงตั้งแต่ $0^o $ ถึง $180^o (Q_1$ กับ $Q_2)$

ถ้า $cos\theta>0 $ แสดงว่า $\theta$ เป็นมุมใน $Q_1$ (มุมแหลม)

ถ้า $cos\theta<0 $ แสดงว่า $\theta$ เป็นมุมใน $Q_2$ (มุมป้าน)

หมายเเหตุ ถ้าต้องการดูแค่ว่าเป็นมุมแหลมหรือมุมป้าน ไม่จำเป็นต้องหาค่า $cos\theta$ ก็ได้ครับ

จากสูตร $\overline{u}\cdot \overline{w}=\left|\overline{u}\right|\left|\overline{w}\right|cos\theta$ จะเห็นได้ว่า

$\overline{u}\cdot \overline{w}>0$ ก็ต่อเมื่อ $cos\theta>0 $

$\overline{u}\cdot \overline{w}<0$ ก็ต่อเมื่อ $cos\theta<0 $

ดังนั้น ดูที่ค่าของ $\overline{u}\cdot \overline{w}$ ก็พอ

$\theta$ เป็นมุมแหลม ก็ต่อเมื่อ $\overline{u}\cdot \overline{w}$ เป็นบวก

$\theta$ เป็นมุมป้าน ก็ต่อเมื่อ $\overline{u}\cdot \overline{w}$ เป็นลบ

[คิม แต ฮี]

ขอบคุณคุณ lek2554 เข้าใจแล้วคะ