อสมการเล่ม สสวท.

[[SIL]]

ช่วยเคาะสนิมออกจากหัวผมด้วยครับ (วิธีทางอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ก็ได้นะครับ)
1. ให้ $n$ เป็นจำนวนนับจงแสดงว่า
☺$2\sqrt{n+1}-2<1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}$

2. สำหรับจำนวนนับใดๆ จงแสดงว่า
☺$2^n \geqslant 2n$
3. สำหรับจำนวนนับ $n \geqslant 2$ จงพิสูจน์ว่า
☺$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<1-\frac{1}{n}$

4. จงพิสูจน์ว่า
☺$\frac{1}{1999}<\frac{1}{2}\bullet\frac{3}{4}\bullet\frac{5}{6}...\frac{1997}{1998}<\frac{1}{44}$

5. ให้ $a,b,c \geqslant 0$ จงแสดงว่า
☺$\frac{a+b+c}{1+a+b+c} \leqslant \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}$

6. กำหนดให้ n \geqslant 2 และให้ a_i \geqslant 1 สำหรับ i = 1,2,..,n จงพิสูจน์ว่า
☺$2^{n-1}(a_1a_2...a_n+1) \geqslant (1+a_1)(1+a_2)...(1+a_n)$

7. กำหนดให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงใดๆ จงแสดงว่า
☺$\left|\,a+b\right|+\left|\,b+c\right|+\left|\,c+a\right| \leqslant \left|\,a\right|+\left|\,b\right|+\left|\,c\right|+\left|\,a+b+c\right|$

[beginner01]

$a^ab^bc^c\geq a^bb^cc^a$ สมมาตรหรือครับ?
ลองแทน $a,b$ สลับกันเอง $c$ คงที่ไว้ มันกลายเป็น
$a^ab^bc^c\geq a^cb^ac^b$ ซึ่งมันไม่เหมือนเดิมน่ะครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

ช่วยเคาะสนิมออกจากหัวผมด้วยครับ (วิธีทางอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ก็ได้นะครับ)

5. ให้ $a,b,c \geqslant 0$ จงแสดงว่า
☺$\frac{a+b+c}{1+a+b+c} \geqslant \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}$

ข้อ 5 เครื่องหมายผิดหรือเปล่าครับ โจทย์น่าจะเป็นแบบนี้ครับ
$\frac{a+b+c}{1+a+b+c} \leqslant \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}$

[[SIL]]

ขอบคุณคุณ beginner01มากครับ ผมคงยังไม่เข้าใจคำว่า สมมาตรสักเท่าไหร่ครับ (อ่อนหัดน่ะแหละ )
ข้อ 5 เปลี่ยนเครื่องหมายแล้วนะครับ พิมพ์ผิดจริง ขอประทานอภัย

[nooonuii]

(i) $a^ab^bc^c \geqslant a^bb^cc^a$
วิธีทำของผม โดยไม่เสียนัยทั่วไปกำหนดให้ $a\geqslant b\geqslant c$ แล้วแทนลงไปในอสมการจะได้ว่า
$a^aa^aa^a\geqslant c^cc^cc^c$
$a\geqslant c $ เป็นจริง

(ii) $a^ab^bc^c \geqslant (abc)^{\frac{a+b+c}{3}}$
วิธีทำของผม โดยไม่เสียนัยทั่วไปกำหนดให้ $a\geqslant b\geqslant c$ แล้วแทนลงไปในอสมการจะได้ว่า
$a^aa^aa^a\geqslant (ccc)^{\frac{c+c+c}{3}}$
$a\geqslant c $ เป็นจริง

ผมว่ายังไม่ถูกครับ

2. โจทย์มีอยู่ว่า
(i) จงแสดงว่า $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} \geqslant \frac{1}{2}$ เมื่อ n เป็นจำนวนนับใดๆ

พิสูจน์ว่าแต่ละเทอม $\geq\dfrac{1}{2n}$

[[SIL]]

ขอบคุณครับ

[nooonuii]

2. สำหรับจำนวนนับใดๆ จงแสดงว่า $2^n \geqslant 2n$

ข้อนี้ใช้ induction ก็ไม่ยากเลย ลองฝึกเขียนดูครับ

แต่ผมมีอีกวิธีนึงซึ่งสวยดี

My Solution:

ถ้า $n=1,2$ เห็นได้ชัดว่าิอสมการเป็นสมการ

สมมติว่า $n\geq 3$ จะได้ว่า

$\displaystyle{2^n =\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\cdots+\binom{n}{n-1}+\binom{n}{n}}$

$\displaystyle{~~~\geq \binom{n}{1}+\binom{n}{n-1}}$

$~~~=2n$

[nooonuii]

1. ให้ $n$ เป็นจำนวนนับจงแสดงว่า
☺$2\sqrt{n+1}-2<1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}$

พิสูจน์ว่า สำหรับทุก $k$ $$\sqrt{k+1}-\sqrt{k}<\dfrac{1}{2\sqrt{k}}<\sqrt{k}-\sqrt{k-1}$$

[nooonuii]

5. ให้ $a,b,c \geqslant 0$ จงแสดงว่า
☺$\frac{a+b+c}{1+a+b+c} \leqslant \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}$

พิสูจน์อสมการสำหรับ 2 ตัวแปรก่อน คือ

$\frac{a+b}{1+a+b} \leqslant \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}$

แล้วนำอสมการนี้ไปประยุกต์กับสามตัวแปรโดยใช้แนวคิดแบบ induction

[[SIL]]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ข้อนี้ใช้ induction ก็ไม่ยากเลย ลองฝึกเขียนดูครับ

แต่ผมมีอีกวิธีนึงซึ่งสวยดี

My Solution:

ถ้า $n=1,2$ เห็นได้ชัดว่าิอสมการเป็นสมการ

สมมติว่า $n\geq 3$ จะได้ว่า

$\displaystyle{2^n =\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\cdots+\binom{n}{n-1}+\binom{n}{n}}$

$\displaystyle{~~~\geq \binom{n}{1}+\binom{n}{n-1}}$

$~~~=2n$

ในทฤษฎีบททวินามผมใช้เป็นอยู่รูปเดียวคือ $(1+x)^m>1+mx$ เมื่อ $m > 1$ (แต่ก็ยังไม่คล่องเลยครับ)
ในส่วนที่คุณ nooonuii เสริมให้ผมว่าสวยดีครับ ตรงนี้ผมยังไม่เคยใช้เลยครับ ขอบคุณมากๆครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

พิสูจน์ว่า สำหรับทุก $k$ $$\sqrt{k+1}-\sqrt{k}<\dfrac{1}{2\sqrt{k}}<\sqrt{k}-\sqrt{k-1}$$

ตรงนี้ผมพอจะพิสูจน์ได้ครับ แต่ผมไม่ทราบว่าจะนำไปประยุกต์ได้อย่างไร รบกวนแนะนำให้อีกสักนิดครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

พิสูจน์อสมการสำหรับ 2 ตัวแปรก่อน คือ

$\frac{a+b}{1+a+b} \leqslant \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}$

แล้วนำอสมการนี้ไปประยุกต์กับสามตัวแปรโดยใช้แนวคิดแบบ induction

ผมไม่ทราบว่าที่คุณ nooonuii บอกหมายถึงอย่างนี้หรือเปล่าครับ รบกวนชี้แนะด้วยครับ

(**)กำหนดให้ $n \in N$ที่ $\geqslant 2$ จงพิสูจน์ว่า $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{1+a_1+a_2+...+a_n} \leqslant \frac{a}{1+a_1}+\frac{a}{1+a_2}+...+\frac{a_n}{1+a_n}$
พิสูจน์โดยวิธีอุปนัย(ลองทำแล้วไม่เป็นผลครับติดในรูปที่ยุ่งเหยิงไปหมดเลย)
แต่ถ้าพิสูจน์ได้เราก็สามารถกำหนดให้ $a_i$ ทุก $i= 1,2,...,n$ เป็นตัวแปรอะไรก็ได้โดยไม่เสียนัยทั่วไปหรือเปล่าครับ
ช่วงนี้ครูไปทำกิจกรรมโรงเรียนผมปิดถึงวันที่ 10 เลยครับผมเลยอยากลองศึกษาดูบ้าง รบกวนชี้แนะด้วยครับ

[POSN_Psychoror]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

ผมไม่ทราบว่าที่คุณ nooonuii บอกหมายถึงอย่างนี้หรือเปล่าครับ รบกวนชี้แนะด้วยครับ

(**)กำหนดให้ $n \in N$ที่ $\geqslant 2$ จงพิสูจน์ว่า $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{1+a_1+a_2+...+a_n} \leqslant \frac{a}{1+a_1}+\frac{a}{1+a_2}+...+\frac{a_n}{1+a_n}$
พิสูจน์โดยวิธีอุปนัย(ลองทำแล้วไม่เป็นผลครับติดในรูปที่ยุ่งเหยิงไปหมดเลย)
แต่ถ้าพิสูจน์ได้เราก็สามารถกำหนดให้ $a_i$ ทุก $i= 1,2,...,n$ เป็นตัวแปรอะไรก็ได้โดยไม่เสียนัยทั่วไปหรือเปล่าครับ
ช่วงนี้ครูไปทำกิจกรรมโรงเรียนผมปิดถึงวันที่ 10 เลยครับผมเลยอยากลองศึกษาดูบ้าง รบกวนชี้แนะด้วยครับ

................
ข้อนี้ไม่จำเป็นต้องคิดอะไรมาก ดูทีละพจน์เอา
$\frac{a_1}{1+a_1+a_2+...+a_n} \leqslant \frac{a_1}{1+a_1}$ , $\frac{a_2}{1+a_1+a_2+...+a_n} \leqslant \frac{a_2}{1+a_2}$
...
$\frac{a_n}{1+a_1+a_2+...+a_n} \leqslant \frac{a_n}{1+a_n}$

แล้วนำมาบวกกัน
...............

[[SIL]]

ขอบคุณมากครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

ตรงนี้ผมพอจะพิสูจน์ได้ครับ แต่ผมไม่ทราบว่าจะนำไปประยุกต์ได้อย่างไร รบกวนแนะนำให้อีกสักนิดครับ

แทนค่า $k=1,2,...,n$ จะได้อสมการออกมา $n$ ชุด ลองบวกอสมการทั้งหมดดูสิครับ

[nooonuii]

7. กำหนดให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงใดๆ จงแสดงว่า
☺$\left|\,a+b\right|+\left|\,b+c\right|+\left|\,c+a\right| \leqslant \left|\,a\right|+\left|\,b\right|+\left|\,c\right|+\left|\,a+b+c\right|$

สมมติว่า $|a|\leq|b|\leq|c|$

ถ้า $c=0$ จบ

สมมติว่า $c\neq 0$

จะได้

$|1+\dfrac{a}{c}|=1+\dfrac{a}{c}$

$|1+\dfrac{b}{c}|=1+\dfrac{b}{c}$

ดังนั้น

$|1+\dfrac{a}{c}|+|1+\dfrac{b}{c}|\leq 1+|1+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}|$

เราจึงได้

$|a+c|+|b+c|\leq |c|+|a+b+c|$

ที่เหลือไม่ยากแล้วล่ะ

[benz_yrc]

ขอบคุนนะครับ ๆ