จัดรูปสมการตรีโกณ

[ครูนะ]

จากสมการ $cosx + \sqrt{3}sinx = 2cos2x$ ค่าของ x ตรงกับข้อใด

ก. $\frac{2n\pi}{3}$ + $\frac{pi}{9}$ , $2n\pi$ - $\frac{pi}{3}$

ข. $\frac{n\pi}{3}$ + $\frac{pi}{6}$ , $n\pi$ - $\frac{pi}{3}$

ค. $\frac{2n\pi}{3}$ - $\frac{pi}{6}$ , $2n\pi$ + $\frac{pi}{3}$

ง. $\frac{n\pi}{3}$ - $\frac{pi}{6}$ , $n\pi$ + $\frac{pi}{3}$

ผมจัดสมการจนถึง sin(30 + x) = cos2x จากนี้แล้วต้องทำยังไงครับ

จึงจะตอบได้ หรือพอจะมีวิธีอื่นไหมครับ

เลข ม.ปลาย ผมทำไม่ได้ ช่วยด้วยครับ

[กิตติ]

$sin(\frac{\pi }{2} -\theta ) = cos \theta $
ดังนั้น$cos2x=sin(\frac{\pi }{2} -2x )$
ดังนั้น$sin(\frac{\pi }{2} -2x )=sin(\frac{\pi }{6}+x )$
เวลาเราสรุปว่า$sinA=sinB \rightarrow A=n\pi +B,A=n\pi -B \rightarrow A=n\pi +(-1)^nB$
ดังนั้น$n\pi +\frac{\pi }{2} -2x=\frac{\pi }{6}+x$.....$n$เป็นเลขคู่
$3x=n\pi+\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6} =n\pi+\frac{\pi}{3} $
$x=\frac{\pi }{9}+\frac{n}{3} \pi$
กับ$n\pi -\frac{\pi }{2} +2x=\frac{\pi }{6}+x$....$n$เป็นเลขคี่
$x=\frac{2\pi }{3} -n\pi =(\pi -\frac{\pi }{3})-n\pi$
$=(1-n)\pi-\frac{\pi }{3} = -(n-1)\pi-\frac{\pi }{3}$
จาก$-\pi = \pi $ ดังนั้น$-(n-1)\pi=(n-1)\pi$ ถ้า $n=1,2,3,...$
ดังนั้น$x=(n-1)\pi-\frac{\pi }{3}$
การสรุปค่ามุมจาก$sin$ดูวุ่นวายตรง$(-1)^n$

ผมตอบข้่อ ก.

หรืออีกแบบมองว่า$cos(\frac{\pi }{2} -\theta ) = sin \theta $
แล้วการสรุปมุมในค่า$cos$....$cosA=cosB \rightarrow A=2n\pi\pm B$.....สรุปจากค่า$cos$น่าจะดูง่ายกว่า
$cos2x=sin(\frac{\pi }{6}+x)=cos(\frac{\pi }{2}-(\frac{\pi }{6}+x)) =cos(\frac{\pi }{3}-x)$
$2x=2n\pi\pm(\frac{\pi }{3}-x)$ จะได้เป็น
$2x=2n\pi+(\frac{\pi }{3}-x)$ กับ$2x=2n\pi-(\frac{\pi }{3}-x)$
$3x=2n\pi+\frac{\pi }{3}$ กับ$x=2n\pi-\frac{\pi }{3}$
$x=\frac{2n\pi}{3} +\frac{\pi }{9}$ กับ$x=2n\pi-\frac{\pi }{3}$