ร่วมกันเฉลยแบบเรียน สอวน.กันมั้ย

[poper]

ต่อกันเลยครับผม
โจทย์ปัญหา 1.3
1) จงหาจำนวนจริง x ซึ่งสอดคล้องสมการ $(16x^2-9)^3+(9x^2-16)^3=(25x^2-25)^3$
2) จงหารากของสมการ $5(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})=6x+8\sqrt{1-x^2}$
3) จงหารากของสมการ $[6(5x+6)]^{\frac{1}{3}}-[5(6x-11)]^{\frac{1}{3}}=1$
4) จงหาจำนวนจริง x และ y ซึ่งสอดคล้องสมการ $\frac{x-3}{2y-7}=\frac{x-3}{2-7y}$
5) จงหาจำนวนจริง x,y และ z ที่สอดคล้องสมการ $3x^2+y^2+z^2=2x(y+z)$
6) จงหาค่าของ $\sqrt{x+2\sqrt{2x-4}}+\sqrt{x-2\sqrt{2x-4}}$ เมื่อกำหนด $2<x<3$
7) จงหารากที่สองของนิพจน์ในข้อต่อไปนี้
7.1 $(a^2+ab+bc+ac)(bc+ca+ab+b^2)(bc+ca+ab+c^2)$
7.2 $1-x+\sqrt{22x-15-8x^2}$
8) จงหาค่าของ $x^2+\frac{1}{x^2}$ และ $x^3+\frac{1}{x^3}$ เมื่อกำหนด $x-\frac{1}{x}=1$
9) พิจารณาคู่สมการสองคู่คือ \(\cases{\sqrt{3x-2}=4\\3x-2=16}\) กับ \(\cases{(x-1)^2=4\\x^2=81}\)
คำถามที่เกิดขึ้นเกี่ยวกับคู่สมการทั้งสองอาจเป็น "คู่ใดที่มีคำตอบของแต่ละสมการเหมือนกัน" เป็นต้น และถ้าเราหารากของแต่ละคู่สมการ
เราจะพบว่าสมกรคู่แรกมีรากเป็นชุดเดียวกัน แต่รากของสมการคู่หลังไมเป็นชุดเดียวกัน

เราเรียกสมการสองสมการว่า สมการสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อสมการทั้งสองมีคำตอบชุดดียวกัน

9.1 สมการ $x=y$ กับสมการ $x^2=xy$ สมมูลกันหรือไม่
9.2 สมการ $(x-y)(x+y)=y(x-y)$ สมมูลกับสมการ $x+y=y$ หรือไม่
9.3 สมการ $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ สมมูลกับสมการ $9x^2+4y^2=36$ หรือไม่
9.4 จงให้เหตุผลว่าเหตุใดเมื่อเรา "บวก" หรือ "คูณ" สมการหนึ่งด้วยจำนวนคงค่า(ซึ่งไม่ใช่ศูนย์)จะได้สมการใหม่ที่สมมูลกับสมการเดิมเสมอ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ข้อ 16) ผมทำตรงๆเลยครับ
$\sqrt{9x+4}-2\sqrt{x}=\frac{5}{\sqrt{9x+4}}$
$9x+4-2\sqrt{9x^2+4x}=5$
$2\sqrt{9x^2+4x}=9x-1$
$4(9x^2+4x)=81x^2-18x+1$
$36x^2+16x=81x^2-18x+1$
$45x^2-34x+1=0$
$x=\frac{17\pm2\sqrt{61}}{45}$
คำตอบติดรูทเหมือนกันครับ คุณกิตติน่าจะคำนวณเลขในรูทผิดไปครับ $D=\frac{37\pm\sqrt{244}}{5}=\frac{37\pm2\sqrt{61}}{5}$ ครับ

คำตอบใช้ได้มีเพียงค่าเดียวครับ คือ $x=\frac{17+2\sqrt{61}}{45}$

[poper]

เอ่อ...
$\frac{17-2\sqrt{61}}{45}$ ก็ไม่ติดลบนี่ครับ
หรือว่ามีอย่างอื่นครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

เอ่อ...
$\frac{17-2\sqrt{61}}{45}$ ก็ไม่ติดลบนี่ครับ
หรือว่ามีอย่างอื่นครับ

มันไม่จำเป็นติดลบนี่ครับ หลักของมันอยู่ที่กระบวนการแก้สมการต่างหาก ดังนั้นจึงมักมีการเน้นว่าเมื่อได้คำตอบต้องแทนค่าในสมการครับ แต่ถ้าเราแก้สมการโดยมีหลักการก็รู้ได้ครับ อย่างเช่นข้อนี้ ค่าของ $x$ ต้องมากกว่าหรือเท่ากับ 1/9 แต่ค่า $\frac{17-2\sqrt{61}}{45}$ แม้เป็นบวกแต่ไม่ถึงครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

มันไม่จำเป็นติดลบนี่ครับ หลักของมันอยู่ที่กระบวนการแก้สมการต่างหาก ดังนั้นจึงมักมีการเน้นว่าเมื่อได้คำตอบต้องแทนค่าในสมการครับ แต่ถ้าเราแก้สมการโดยมีหลักการก็รู้ได้ครับ อย่างเช่นข้อนี้ ค่าของ $x$ ต้องมากกว่าหรือเท่ากับ 1/9 แต่ค่า $\frac{17-2\sqrt{61}}{45}$ แม้เป็นบวกแต่ไม่ถึงครับ

โอ้ว...
ขอบคุณมากเลยครับ ได้อะไรดีๆจากท่านหยินหยางอีกแล้ว

[poper]

1) จงหาจำนวนจริง x ซึ่งสอดคล้องสมการ $(16x^2-9)^3+(9x^2-16)^3=(25x^2-25)^3$

ข้อนี้ขอใช้วิธีของคุณ nooonuii บ้างครับ
$(16x^2-9)^3+(9x^2-16)^3=(25x^2-25)^3$
$(16x^2-9)^3+(9x^2-16)^3+(-25x^2+25)^3=0$
ให้ $A=16x^2-9$ $\ \ B=9x^2-16$ $\ \ C=-25x^2+25$ จะได้ว่า $A+B+C=0$
ดังนั้น $A^3+B^3+C^3=3ABC=0$
$(16x^2-9)(9x^2-16)(-25x^2+25)=0$
$(4x+3)(4x-3)(3x+4)(3x-4)(x+1)(x-1)=0$
$x=-\frac{3}{4},\frac{3}{4},-\frac{4}{3},\frac{4}{3},1,-1$

[tongkub]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

8) จงหาค่าของ $x^2+\frac{1}{x^2}$ และ $x^3+\frac{1}{x^3}$ เมื่อกำหนด $x-\frac{1}{x}=1$

$x - \frac{1}{x} = 1$

$x^2 - 2 + \dfrac{1}{x^2} = 1$

$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 3$

และ $x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2} = 5$

$x + \dfrac{1}{x} = \sqrt{5}$

$x^3 + \dfrac{1}{x^3} = (x^2 + \dfrac{1}{x^2})(x + \dfrac{1}{x}) - (x + \frac{1}{x})$

$= 3\sqrt{5} - \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

ข้อสอบชุดนี้ยากจังเลยครับ ผมทำได้ 2-3 ข้อเอง

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tongkub

$x - \frac{1}{x} = 1$

$x^2 - 2 + \dfrac{1}{x^2} = 1$

$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 3$

และ $x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2} = 5$

$x + \dfrac{1}{x} = \sqrt{5}$

$x^3 + \dfrac{1}{x^3} = (x^2 + \dfrac{1}{x^2})(x + \dfrac{1}{x}) - (x + \frac{1}{x})$

$= 3\sqrt{5} - \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

ข้อสอบชุดนี้ยากจังเลยครับ ผมทำได้ 2-3 ข้อเอง

ข้อนี้ตรง $x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2} = 5$
จะได้ $x+\frac{1}{x}=\pm\sqrt{5}$ ครับ
$x^3+\frac{1}{x^3}=\pm2\sqrt{5}$ ครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

5) จงหาจำนวนจริง x,y และ z ที่สอดคล้องสมการ $3x^2+y^2+z^2=2x(y+z)$

ใช้ SOS

$3x^2+y^2+z^2-2xy-2xz=x^2+(x-y)^2+(x-z)^2$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ใช้ SOS

$3x^2+y^2+z^2-2xy-2xz=x^2+(x-y)^2+(x-z)^2$

$3x^2+y^2+z^2-2xy-2xz=x^2+(x-y)^2+(x-z)^2=0$
ดังนั้น $x=y=z=0$
ขอบคุณคุณ nooonuii ครับ

[poper]

3) จงหารากของสมการ $[6(5x+6)]^{\frac{1}{3}}-[5(6x-11)]^{\frac{1}{3}}=1$

ให้ $A=[6(5x+6)]^{\frac{1}{3}}$ $\ \ B=[5(6x-11)]^{\frac{1}{3}}$ จะได้ว่า
$A-B=1$--->$B=A-1$---(1)
$A^3-B^3=(A-B)^3+3AB(A-B)=91$--->$AB=30$---(2)
จาก (1) และ (2) จะได้สมการ
$A(A-1)=30$
$A^2-A-30=0$
$(A+5)(A-6)=0$
$A=6,-5$
$x=6,-\frac{161}{30}$ คำตอบที่สองไม่สวยเลยครับ

[poper]

4) จงหาจำนวนจริง x และ y ซึ่งสอดคล้องสมการ $\frac{x-3}{2y-7}=\frac{x-3}{2-7y}$

$(x-3)(2-7y)=(x-3)(2y-7)$
$(x-3)(2-7y)-(x-3)(2y-7)=0$
$(x-3)(9-9y)=0$
$x=3,y=1$

[poper]

6) จงหาค่าของ $\sqrt{x+2\sqrt{2x-4}}+\sqrt{x-2\sqrt{2x-4}}$ เมื่อกำหนด 2<x<3

$A=\sqrt{x+2\sqrt{2x-4}}+\sqrt{x-2\sqrt{2x-4}}\ \ ,A>0$
$A^2=2x+2\sqrt{x^2-8x+16}$
$\ \ \ =2x+2\sqrt{(x-4)^2}$ เนื่องจาก $2<x<3$ ดังนั้น $\sqrt{(x-4)^2}=-x+4$
$\ \ \ =2x+2(-x+4)$
$\ \ \ =8$
ดังนั้น $A=2\sqrt{2}$

[prophet]

มีข้อไหนยังไม่ทำบ้างครับอยากลองดู

[poper]

จงหารากที่สองของนิพจน์ในข้อต่อไปนี้
7.2 $1-x+\sqrt{22x-15-8x^2}$

\[\matrix{1-x+\sqrt{22x-15-8x^2}&=&\frac{2-2x+2\sqrt{(-4x+5)(2x-3)}}{2}\\&=&\bigg[\frac{\sqrt{-4x+5}+\sqrt{2x-3}}{\sqrt{2}}\bigg]^2}\]
ดังนั้น รากที่สองของ $1-x+\sqrt{22x-15-8x^2}$ คือ $\pm[\sqrt{\frac{-4x+5}{2}}+\sqrt{\frac{2x-3}{2}}]$