!!! New Identity Discover !!!

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ TOP:
เรื่อง "computer search" ดูแล้วน่าสนใจมากครับ โดยเฉพาะเรื่องที่
ทำให้เรา "สามารถหาbit ที่ n ของ p ได้โดยตรง ไม่ต้องหากันตั้งแต่ bit ที่ 1 ถึง n" ไม่รู้ว่าค้นพบโดย computer ได้อย่างไร มีใครตั้งเป็นข้อคาดเดาบางอย่างไว้ก่อน แล้วให้ computer ตรวจสอบเล่นๆอย่างนั้นหรือครับ อีกประเด็นหนึ่งคือ ถึงแม้ว่าจะไม่ต้องเริ่มต้นหาจากบิตแรก แต่ว่าสุดท้ายแล้ว เราต้องคำนวณเยอะ พอๆกับเริ่มต้นหาจากบิตแรกรึเปล่า

มันเกิดจากการค้นพบสูตรที่เรียกกันว่า BBP formula: $$ \pi= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k+1} -\frac{2}{8k+4} -\frac{1}{8k+5} -\frac{1}{8k+6} \right) $$ โดยอาศัย integer relation detection algorithm ที่เรียกว่า PSLQ ครับ

นักคณิตศาสตร์จะรวบรวมค่าคงที่ที่น่าสนใจต่างๆส่งให้คอมพ์ แล้วรัน PSLQ ซึ่งเครื่องก็จะ search หาความสัมพันธ์ที่อาจมีอยู่ในรูปของ linear combination (over $\mathbb Z$) ของค่าคงที่เหล่านั้น เมื่อเครื่องรายงานความสัมพันธ์ที่มันค้นพบให้ทราบ เราจึงพิสูจน์สูตรนั้นด้วยกระบวนการทางคณิตศาสตร์อีกทีครับ

ตอนที่เจอสูตร BBP เขาสังเกตเห็นพจน์ $16^k$ จึงคิดได้ว่าสูตรนี้สามารถนำไปใช้หาบิทที่ $n$ ของ $\pi$ ได้โดยตรง ซึ่งจะประหยัดแรงกว่าการหาตั้งแต่บิทที่ 1 ถึง $n$ มากๆเลยครับ ในตอนนั้น (1995) นักคณิตศาสตร์ตื่นเต้นและประหลาดใจกับการค้นพบนี้เป็นอย่างมาก เพราะไม่เคยมีใครคาดคิดมาก่อนเลยว่าจะมีวิธีที่สามารถหาบิทที่ $n$ ของ $\pi$ ได้โดยตรง

[Switchgear]

ขออนุญาตอธิบายเสริม BBP formula ที่คุณ warut นำมาแสดง

คำว่า bit ในที่นี้ไม่ใช่แต่ละหลักในเลขฐาน 10

อย่างเช่นสูตร BBP ในที่นี้ จะเห็นว่าเป็นฐาน 16 แปลว่าผลลัพธ์ที่แทน n แต่ละครั้ง
จะได้ 1 hexadecimal (base 16) digit ของ p หรือเท่ากับ 4 bits ในฐาน 2
เพราะว่า 2^4 = 16

สรุปว่าสูตร BBP นี้ แทนค่า n แต่ละตัว จะให้ผลลัพธ์เป็นเลขฐาน 2 ทีละ 4 bits
(คำอธิบายนี้ ถูก/ผิด อย่างไร รบกวนคุณ warut แนะนำด้วยครับ)

BBP นี้มาจากชื่อของ David Bailey, Peter Borwein และ Simon Ploufe

[Switchgear]

ถ้าใช้สูตรนี้ก็จะได้ออกมาครั้งละ 10 หลักในเลขฐาน 2 (10 bits)

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ Switchgear:
สรุปว่าสูตร BBP นี้ แทนค่า n แต่ละตัว จะให้ผลลัพธ์เป็นเลขฐาน 2 ทีละ 4 bits

เอ... ผมไม่คิดว่ามันจะง่ายขนาดนั้นนะครับ เพราะมันยังมีตัวทดมาจากเทอมอื่นๆด้วย

คำว่า bit ของผมนี่ก็ใช้ในความหมายปกตินั่นแหละครับ ซึ่งก็มาจากคำว่า binary digit (ไม่ใช่ decimal digit) นั่นเอง

ถ้าใครสนใจเรื่องนี้เพิ่มเติม ลองไปดูได้ที่ PiHex ครับ

ผมขุดกระทู้นี้ขึ้นมาตอบ เพราะผมกำลังเคลียร์เรื่องตกค้างเก่าๆของผมที่ mathcenter ให้หมดน่ะครับ ไม่คิดว่าจะมีคนสนใจสักเท่าไหร่ ยังไงก็ขอบคุณ คุณ Switchgear ที่ช่วยมาให้ข้อมูลเพิ่มเติมครับ

[Switchgear]

ใครสนใจที่มาและวิธีใช้ BBP formula อ่านเพิ่มในนี้ได้อีกที่หนึ่ง

nth_digit

[snow_flyer]

คิดตามไม่ทันเลย ยังไงช่วยเฉลยพิสูจน์สูตรให้หน่อยได้ไหมคะ

[munoi]

โหย ! ยอดจิงๆเรยค่ะพี่ มายด์อ่านแล้วยังต้องทำความเข้าใจอยู่นานทีเดียวเลย ขอคำนับ1จอก ค๊า (คิคิ)

[iMissU]

โอ้ว สุดยอดเรยยย

[นายกอไก่]

เด็กน้อยคนนี้จะพยายามทำความเข้าใจนะ
แต่ตอนนี้ยังงงๆอยู่เลยครับ

[Amount of infinite]

หุหุ ดูๆแล้ว ไม่ค่อยรู้เรื่องเลย แต่กดเครื่องดูๆแล้ว ก็โอเคนะคับ สู้ๆ

[กรza_ba_yo]

คิดได้ไงคับสุดยอด