problem from my book

[tatari/nightmare]

(Around the world;Silk road MO2008)
กำหนดให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมและ $A_0,B_0,C_0$ เป็นจุดกึ่งกลางด้าน $BC,CA,AB$ ตามลำดับ
และให้ $A_1,B_1,C_1$ เป็นจุดกึ่งกลางของเส้นหัก $BAC,ABC,CAB$ ตามลำดับ
จงพิสูจน์ว่า $A_0A_1,B_0B_1,C_0C_1$ ตัดกันที่จุดๆเดียว

[God Phoenix]

อ่า... โทดทีครับ พอดีผมไม่มีเครื่องมือวาดรูปเรขา
สำหรับ Solution ผมขอให้วาดรูปตามแล้วดูนะครับ

Solution

โดยไม่เสียนัยทั่วไป ให้ $AB$ เป็นด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยม ฉะนั้น $A_1,B_1$ จะอยู่บน $AB$
ให้$A_{1}A_{0},B_{1}B_{0}$ ตัดกันที่จุด $X$
เราจะพิสูจน์ว่า $C_{1}C_{0}$ ผ่านจุด $X$

ให้ $AB=c,BC=a,CA=b$

จะได้ว่า $\frac {A_{1}C_{0}}{c_{0}B_{1}}=\frac {\frac {b}{2}}{\frac {a}{2}}=\frac {b}{a}$ (เราไล่หาความยาว $A_{1}C_{0},C_{0}B_{1}$ ได้โดยง่าย)

ดังนั้น $C_{0}X$ จะแบ่ง $A_{0}B_{0}$ เป็นอัตราส่วน $b:a$ (จาก $A_{0}B_{0}//A_{1}B_{1}$ แล้วใช้สามเหลี่ยมคล้าย)

ต่อไปพิจารณา $C_{0}C_{1}$ ตัดกับ $A_{0}B_{0}$

เพราะว่า $C_{0}A_{0}//B_{0}C_{1}$ และ $\frac{C_{0}A_{0}}{B_{0}C_{1}}=\frac {\frac {b}{2}}{\frac {a}{2}}$ (ไล่ความยาวได้อีกเช่นกัน)

ดังนั้น $C_{0}C_{1}$ จะแบ่ง $A_{0}B_{0}$ เป็นอัตราส่วน $b:a$ เช่นเดียวกัน (ก็สามเหลี่ยมคล้ายอีก)

จึงได้ว่า $C_{0},X,C_{1}$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกันตามที่ต้องการ

[God Phoenix]

อ่า... ว่าแต่ คุณ tatari nightmare
โจทย์นี้เอามาจากหนังสือเล่มไหนของคุณเหรอครับ
เพราะโจทย์ดูสวยดีครับ
ผมอยากลองซื้อมาทำซักเล่ม

[tatari/nightmare]

อืม ผมรวบรวมเองครับ 555+
อีกสักข้อครับ
(The Extension of ISL2006 G1 or G2!!:from russia book)
กำหนดสี่เหลี่ยมนูน ABCD ให้จุด M อยู่ภายในสี่เหลี่ยมซึ่งทำให้ ABMD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ถ้า $\angle MDC=\angle MBC$ แล้วจงแสดงว่า $\angle MCD=\angle BCA$

<Hint>

อืม อยากดูจริงหรอๆ

<hint>

ใช้ประโยชน์จากสี่เหลี่ยมด้านขนานให้มากที่สุด

[Tomoyo_jung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

อืม ผมรวบรวมเองครับ 555+
อีกสักข้อครับ
(The Extension of ISL2006 G1 or G2!!:from russia book)
กำหนดสี่เหลี่ยมนูน ABCD ให้จุด M อยู่ภายในสี่เหลี่ยมซึ่งทำให้ ABMD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ถ้า $\angle MCD=\angle MAD$ แล้วจงแสดงว่า $\angle CDM=\angle ADB$

อ่ารู้สึกว่าคุณ tatari/nightmare น่าจะพิมพ์ผิดนะคะ
น่าจะเป็น
$$ถ้า \angle MDC=\angle MBC,แล้วจงแสดงว่า \angle MCD=\angle BCA$ มากกว่านะคะ
ซึ่งถ้าเป็นเช่นนี้ดิฉันสามารถพิสูจน์ได้คะว่าเป็นจริง

Proof เราทำการเลื่อนสามเหลี่ยม MDC โดยเลื่อนให้จุด D ไปทับกับจุด A และจุด M
ไปทับกับจุด B นั่นคือเราเลื่อนตามแนวของสี่เหลี่ยมด้านขนาน และกำหนดว่าเราสามารถเลื่อนจุด C ไปที่จุด T
ดังนั้นเราจะได้ว่า AD,BM,CT ขนานกันทั้งหมด
ฉะนั้นเราจะได้ว่าขนาดมุม CBM เท่ากับขนาดมุม BCT
แต่เรามีว่าขนาดของมุม CBM และมุม CDM และขนาดมุม CDM จะต้องเท่ากับขนาดมุม TAB เพราะว่าสามเหลี่ยม ABT
และสามเหลี่ยม DMC นั้นเท่ากัน
เราจึงได้ว่าขนาดของมุม BAT และมุม BCT ซึ่งก็จะสมมูลกับได้ว่า A,C,B,T มีวงกลมล้อมรอบได้
ซึ่งจากตรงนี้เราจะได้ว่าขนาดของมุม BCA จะเท่ากับมุม BTA
แต่เพราะว่ามุม BTAและมุม MCD ต้องเท่ากันด้วยเหตุผลเดิม
ฉะนั้นเราจึงได้ว่าขนาดมุม BCA จึงเท่ากับขนาดของมุม MCD ซึ่งก็คือสิ่งที่เราต้องการนั่นเอง

ช่วยมาตรวจสอบข้อความของคุณด้วยนะคะ

[tatari/nightmare]

ขอโทษทีครับ ผมแก้เรียบร้อยแล้วครับ

[God Phoenix]

อ่า...คุณ Tatari/nightmare
สนใจขายหนังสือรวบรวมโจทย์ของคุณมั้ยครับ
ผมอยากซื้อ(ฉบับสำเนาก็ได้นะครับ) !!!!!

[Julian]

นั่นซิครับ

ถ้าขาย ผมก็ยินดีซื้อฉบับสำเนาก็ได้ครับ

ราคาไม่มีปัญหา

[dektep]

ผมขอด้วยคนสิครับ 555
ว่าแต่เล่มนี้ท่าน tatari ได้รวบรวมเป็นเล่มด้วยเหรอครับ ???

[tatari/nightmare]

มันอยู่ในสมุดโน้ตหนะครับ ผมเขียนไว้แบบว่าเก็บไว้ดูคนเดียวแต่ถ้ามันมีประโยชน์กับผู้อื่นด้วยแล้วก็
เดี๋ยวผมจะลองเรียบเรียงให้ดูดีแล้วกันครับ

ปล. ใครอยากได้ก็ส่ง pm มาหาผมไว้ก่อนก็ได้ครับ