อ่ะ ขอมั่งๆ คิดกันสนุกๆ

[M@gpie]

x⁴+x³+x²+x+1 = 0
จงหาเซตคำตอบ

[Counter Striker]

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย (x-1)
LHS = (x-1)(x⁴+x³+x²+X+1)
LHS = x⁵-1

จะได้ว่า x⁵-1 = 0
x⁵ = 1

เพราะฉะนั้นคำตอบของสมการก็คือ รากที่ 5 ของ 1 ทั้งสี่ตัวนั่นเอง (ยกเว้น 1)

( วิธีหารากที่ 5 ของ 1 ก้อใช้ e^z ธรรมดาๆ )

[M@gpie]

ถูกต้องนะคร้าบบบบ

[alpha]

อ่ะ เอามั่ง ไม่ได้โพสนานแระ

ถ้ามีเงินอยู่ 1000 บาท จะแลกธนบัตรใบละ 20บาท และ50บาท จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่จะแลกธนบัตรให้ได้ทั้ง 2 ชนิด โดยแลกครบทั้ง 1000 บาท

คิดว่าคงไม่ยากเกินไป

[Pich]

19 แบบครับ
คิดโดยการดูจากการแลกเป็นธนบัตรใบละ 50 บาท จะต้องเป็นจำนวนคู่เสมอ จะได้ว่าถ้าจะแลกให้ได้ธนบัตรทั้งใบละ 20 บาท และธนบัตรใบละ 50 บาท จะได้ ทั้งหมด ((1000/50)+1)-2 แบบ

[gon]

เอทำไม คิดเล่น ๆ ดูแล้วได้แค่ 9 แบบ [ (45,2), (40, 4), ... , (5, 18) ]เอง คนตั้งคำถามอย่าลืมมาตอบด้วย

[alpha]

ผมก็คิดได้ 9 แบบนี่นา งง เกินมาจากไหนตั้ง 10 แบบ
ลองดูนะ

20x+50y=1000
เพราะว่าโจทย์ต้องการแลกให้ได้ทั้ง 2 ธนบัตร จะได้ว่า x , y ไม่เท่ากับ 0

จัดy=เทอมของ x
y=(1000-20x)/50=(100-2x)/5=20-2(x/5)
เพราะว่า y เป็นจำนวนเต็ม เพราะฉะนั้น 5|x
x ที่เป็นไปได้จึงมีตั้งแต่ 5, 10, 15, 20, ...
เพราะว่า y>0 ดังนั้น 20-2(x/5)>0
2(x/5)<20
x<50
จะได้ว่า x= 5,10,15,...,45 ==> 9 ตัว

ถ้าเรามองอีกวิธี
จัด x=เทอมของy
x=(100-50y)/20=(100-5x)/2=50x-5(y/2)
เพราะว่า x เป็นจำนวนเต็ม เพราะฉะนั้น 2|y
y ที่เป็นไปได้จึงมีตั้งแต่ 2, 4, 6, 8, ...
เพราะว่า x>0 ดังนั้น 50-5(y/2)>0
5(y/2)<50
y<20
จะได้ว่า y= 2,4,6,...,18 ==> 9 ตัว เช่นกัน

จึงน่าจะเป็นการเพียงพอที่จะสรุปว่า แลกได้ทั้งหมด 9 วิธี

(ใครว่างๆ ใช้ Diophantine equation แก้ดูนะ น่าจะได้ 9 วิธีเหมือนกัน)

[alpha]

ขอโพสอีกข้อๆ ไหนๆ มาโพสทั้งที

กำหนด sigma(n) แทนผลบวกของจำนวนเต็มบวกที่หาร n ลงตัว (หาเครื่องหมาย sigma เล็กไม่เจออ่ะคับ)
f(n) แทนจำนวนของจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ n และเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n (Euler-phi function)

จงหาจำนวนเต็มบวก m ทั้งหมดที่ทำให้ sigma(m)+f(m)=2m

(ข้อนี้เป็นข้อสอบท้ายค่าย สอวน. ค่าย2 ที่มอ. เมื่อ1ปีก่อน คิดไม่ออกอ่ะคับ)

[gon]

ลองเอาแนวคิดนี้ใช้คิดต่อนะครับ.
กรณีที่ 1 : m เป็นจำนวนเฉพาะ จะได้ f(m) = m - 1 และ a(m) = m + 1 (ติ๊ต่างว่านี่ คือ ฟังก์ชัน ของซิกม่าตัวเล็กแล้วกัน) ดังนั้น สมการดังกล่าว จึงเป็นจริงเสมอทุก จำนวนเฉพาะ m ใด ๆ

กรณีที่ 2 : m เป็นจำนวนประกอบ ถ้าสามารถพิสูจน์ได้ว่า f(m) + a(m) > 2m เสมอ ก็จะจบปัญหาข้อนี้

กล่าวคือ จำนวนเฉพาะ m ใด ๆ จะเป็นคำตอบทั้งหมดของสมการดังกล่าว

[alpha]

ปัญหาคือกรณีที่ 2 นี่แหละครับที่คิดไม่ออก
ลองใช้สูตรทั่วไปของ sigma กะ phi แล้วตาลาย เละเทะมาก

[warut]

ข้อนี้อย่าพยายามแก้โดยใช้คุณสมบัติพิเศษของ sigma กับ f (เช่น สมบัติ multiplicative)
เพราะมันจะยิ่งยุ่งไปกันใหญ่ ให้ใช้แค่นิยามของ sigma กับ f ก็พอแล้วครับ
อ้อ...แล้วก็อย่าลืมด้วยว่า m = 1 ก็เป็นคำตอบด้วยนะครับ

[warut]

Let m be a composite number with n distinct prime factors, namely: p₁, p₂, ... , p_n.
So all numbers between 1 to m that are NOT coprime to m are included in the following list:

p₁, 2p₁, 3p₁, ... , (m/p₁)*p₁
p₂, 2p₂, 3p₂, ... , (m/p₂)*p₂
p₃, 2p₃, 3p₃, ... , (m/p₃)*p₃
.
.
.
p_n, 2p_n, 3p_n, ... , (m/p_n)*p_n.

Of course, some numbers in the above list may be redundant.
Nonetheless, we can conclude that there can be no more than
m/p₁ + m/p₂ + ... + m/p_n
numbers between 1 to m that are NOT relatively prime to m.
Therefore, we have f(m) ณ m - (m/p₁ + m/p₂ + ... + m/p_n).

Note that 1, m, m/p₁, m/p₂, ... , m/p_n are distinct divisors of m.
Hence, sigma(m) ณ 1 + m + m/p₁ + m/p₂ + ... + m/p_n.
So f(m) + sigma(m) ณ 1 + 2m > 2m as required.

[gon]

เยี่ยมครับ. แต่ไหงเป็น Version อังกฤษไปแล้วล่ะ. คุณ warut ท่าจะชำนาญหรือชอบเรื่อง Number Theory เป็นพิเศษนะครับ. ผมสังเกตมานานแล้ว.

[warut]

ขอบคุณครับ พอดีเซ็งๆอยู่เลยตอบเป็นภาษาอังกฤษซะเลย คือจริงๆบางครั้งรู้สึกว่า
การเขียนพิสูจน์เป็นอังกฤษจะเขียนง่ายกว่า เพราะไม่ต้องเขียนไทยปนอังกฤษ ไม่ต้อง
เปิดพจนานุกรมศัพท์คณิตศาสตร์ ฯลฯ ฮะ...เคยชอบ number theory แต่ตอนนี้
ไม่ค่อยชอบแล้ว math อื่นๆก็ไม่ชอบแล้วเหมือนกัน