Number Pyramid

[Pich]

Number Pyramid

1
11
21
1211
111221
312211
13112221
...

Number Pyramid จะมีสมบัติอยู่ว่า บรรทัดที่ n จะเขียนโดยดูจากบรรทัด ที่ n-1 แล้วเขียนในรูป จำนวนครั้งที่เลขซ้ำต่อด้วยเลขที่ซ้ำ เช่น บรรทัดที่ 5 ไปบรรทัดที่ 6

111 -> 31 มี 1 อยู่ 3 ตัว
22 -> 22 มี 2 อยู่ 2 ตัว
1 -> 11 มี 1 อยู่ 1 ตัว

นำมาเขียนต่อกันจะได้ 111221 -> 312211

เราจะมีวิธีการที่จะหาจำนวนหลักของ Pyramid Number บรรทัดที่ n ได้โดยไม่ต้องไล่ไปทีละบรรทัดได้หรือไม่ครับ ใช้ความรู้เรื่องอะไรเข้ามาช่วยบ้าง ขอคำแนะนำหน่อยครับ

[warut]

เท่าที่ทราบจำนวนหลักของพจน์ที่ n จะสอดคล้องกับ order-71 linear recurrence relation ซึ่งถ้า n มีค่ามากๆหรือมีจำนวนหลายๆค่าก็อาจจะคุ้มที่จะใช้ครับ

[gon]

ลองแข็งใจนั่งมองอยู่เหมือนกันครับ. เกือบเห็น ๆ แต่แล้วก็หลุด ถ้ามัน 71 recuurence จริง ๆ นี่คงตายแน่ ๆ เลยครับ. ที่เห็นตอนนี้ (ถึง n= 13)ชัดแต่ไม่รู้ว่าถูกไหมคือ 3 ตัวท้ายจะสลับระหว่าง 2 1 1 กับ 2 2 1

เท่าที่ดู 1, 2, 4, 6, 6, 8, 10, 14, 20, 26, 34, 46, ...
จะเห็นว่า
4 = 2 + 2
6 = 4 + 2
6 = 6 + 4 - 4
8 + 6 + 6 - 4
10 = 6 + 8 - 4
14 = 10 + 8 - 4
20 = 14 + 10 - 4
26 = 20 + 14 - 8 --> เริ่มไป
34 = 20 + 26 - 12
46 = 26 + 34 - 14

อีกแบบเกือบสวยแต่ก็หลุดในที่สุด
6 = 2 + 2 + 2 , 10 = 6 + 6 - 2 , 26 = 14 + 10 + 2
6 = 4 + 2 + 0 , 14 = 8 + 6 + 0 , 34 = 20 + 14 + 0
8 = 6 + 4 - 2 , 20 = 10 + 8 + 2 , 46 = 26 + 20 + 0 --> หลุดเลย

พยายามดูแบบบล็อก ๆ คล้าย ๆ John Nash ใน A Butifulmind แต่รู้สึกเห็นแ่ค่บางบล็อค พลังจินตนาการยังไม่พอ มึน
เช่น แถว 9 : 3 1 1 3 1 2 1 1 1 3 1 2 2 1
กับแถว 12 : จะมีอยู่เหมือนกัน เป็นต้น.

[Pich]

ขอบคุณมากครับ
แต่ว่า 71 recuurence มันคืออะไรหรือครับ

[warut]

ให้ a_n แทนจำนวนหลักของพจน์ที่ n ของลำดับดังกล่าว "{a_n} satisfies an order-71 linear recurrence relation" หมายถึงมีค่าคงที่ c₀, ..., c₇₀ (ซึ่งในกรณีนี้เป็นจำนวนเต็มทุกตัว) ที่ทำให้สมการ\[a_{n+71}=c_{70}a_{n+70}
+c_{69}a_{n+69}+\dots+c_1a_{n+1}+c_0a_n\]เป็นจริงสำหรับทุกค่า n ณ 1

ข้อมูลค่า c₀, ..., c₇₀ คงพอจะค้นหาได้นะ แต่จะใช้สูตรนี้ได้ก็ยังต้องรู้ค่า a₁, ..., a₇₀ อีกด้วยแหละครับ

[whitecloud]

ขออนุญาตเสนออะไรให้คิดเล่นสักหน่อยน่ะครับ
คือผมคิดว่าผมจะละเรื่อง 71 recurrenceไว้เพราะ คงวุ่นวายมากและคาดว่าหากลองแก้ดูจะต้องมีปัญหากับ"ความเป็นพจน์ที่แท้จริงของ Number pyramidนี้"ฉะนั้น ขอเสนอ(แบบโง่ๆ)เหมือนการมองแบบธรรมดาว่า
1.สิ่งที่เรารู้คือ บรรทัดที่ n จะอธิบายว่าบรรทัดที่ n - 1 มีKกี่จำนวนและคงค่าKต่อท้ายไว้
2.สิ่งที่สังเกตได้อีกนั่นก็คือ ถ้าให้ บรรทัดที่1 เป็น 1 และบรรทัดที่ 2 เป็น 11 ดังเขียนไว้ตามลำดับ พบว่า ในบรรทัดเลขคี่ จะลงท้ายด้วย 221 และในบรรทัดเลขคู่จะลงท้ายด้วย 211
3.สิ่งที่สังเกตเห็นอีกคือ เลขสองหลักข้างหน้า หากพิจารณาบรรทัดคี่ นับแต่บรรทัดที่ 5 จะเป็น 11,13,31 เสมอ หากพิจารณาบรรทัดคู่ นับแต่บรรทัดที่ 6 จะเป็น 31,11,13
4.สิ่งที่สังเกตเห็นอีกคือ
พิจารณา บรรทัดคี่
บรรทัดที่ 5 11......12....21
บรรทัดที่7 13......11....2221
บรรทัดที่9 31......13....1211131221
บรรทัดที่11 1113..12.....21133112132113212221
บรรทัดที่13 1321..13.....2132111213122112311311222113......221
บรรทัดที่15 3113..11.....22...........................................................................221
บรรทัดที่17 1113..12............................................................................................221
บรรทัดที่19 1321..13......................................................................................................221
บรรทัดที่21 3113..11.............................................................................................................221
จะเห็นได้ว่า หากมองจากทางซ้ายเป็นหลัก ท่านจะพบความสัมพันธ์ดังที่ผมเน้นให้เห็น และคาดการณ์ว่า การเขยิบหลักแบบทวีคูณนี้ น่าจะทำให้เป็นแนวทางทางหนึ่งได้ เช่น ในบรรทัดเลขโดด 2,ในบรรทัดเลขสองหลัก4,ในบรรทัดเลขสามหลัก 8
แนวคิดบางอย่างที่อยากจะบอก
1.หากเราลองคิดโดยสร้างเครื่องมือหรือเงื่อนไข ที่ระบุเจาะจงไปในแต่ละหลักโดยให้เป็นการทำงานสองทาง(คือ ทางนึงยังมีความสัมพันธ์กับเลขข้างเคียงตามเงื่อนไขอยู่ เช่น 13...11...2221 หมายถึง เมื่อเรารู้ว่าในหลักที่เน้นคือ 11 เป็นเลขเรียงคงตัวอยู่อย่างงั้น ก็หาในหลักนั้น แล้วค่อยประกอบเป็นชุดใหญ่)
2.ไม่ลืมอยู่แล้วว่าต้องการหาบรรทัดที่ n และเลขต้องมหาศาลแน่ ฉะนั้นความสัมพันธ์ที่กล่าวข้างต้นนี้ อาจเปรียบได้กับ <0.00001 เมื่อเทียบกับผลทั้งหมด
(ติชมความบ้าของผมได้เลยด้วยความยินดี บรรทัดคู่ใครอยากลองลองไปทำดู พบใกล้เคียงกัน ขออภัยหากตั้งแล้วรกบอร์ด)

[gon]

ผมลองเขียนถึงแถวที่ 13 เท่านั้นเองครับ. พลังไม่ถึงพอที่จะเขียนถึงแถวที่ 21 ด้วยสาเหตุหลัก คือ มันตกขอบกระดาษเสียก่อน

[Pich]

บรรทัดที่ จำนวนหลัก
1 1
2 2
3 2
4 4
5 6
6 6
7 8
8 10
9 14
10 20
11 26
12 34
13 46
14 62
15 78
16 102
17 134
18 176
19 226
20 302
21 408
22 528
23 678
24 904
25 1182
26 1540
27 2012
28 2606
29 3410
30 4462
31 5808
32 7586
33 9898
34 12884
35 16774
36 21890
37 28528
38 37158
39 48410
40 63138
41 82350
42 107312
43 139984
44 182376
45 237746
46 310036
47 403966
48 526646
49 686646
50 894810
51 1166642
52 1520986
53 1982710
54 2584304
55 3369156
56 4391702
57 5724486
58 7462860
59 9727930
60 12680852
61 16530884
62 21549544
63 28091184
64 36619162
65 47736936
66 62226614
67 81117366
68 105745224
69 137842560
70 179691598
71 234241786
72 305351794
73 398049970
74 518891358
75 676414798
76 881752750