ข้อสอบ TUMSCO ครั้งที่ 9, รอบที่ 1

[Yuranan]

ข้อ 27 นี่คล้ายกับข้อ 20 ครับ โดยสังเกตว่า $\angle(x+\theta_1 )+\angle(x+\theta_2)+\angle(x+\theta_3)$ โดยที่ x คือมุมของรากตัวใดๆของสมการ $x^{2553}=1$ จะเห็นได้ว่าเมื่อรากทั้งสามตัวอยู่ภายในครึ่งวงกลมเดียวกันจะได้ว่า $ \left|\,\right. \angle(x+\theta_1 )+\angle(x+\theta_2)+\angle(x+\theta_3)\left.\,\right|> 1$ เสมอ ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ $\frac{1}{2}$ ครับ

[Yuranan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ข้อ 14 โจทย์ผิดนะครับเพราะคิดแล้วจะได้พหุนาม 0

ผมว่าไม่ผิดนะครับ เพียงแต่ว่า $p(5)=144$ นั้นไม่ได้เป็นจุดที่ทำให้พหุนามนี้มีดีกรีเพิ่มขึ้น แต่อย่างไรก็ตามสามารถหาพหุนามที่สอดคล้องกับจุดทั้ง 5 ได้ครับ โดยใช้ Newton form ครับจะได้ว่า $$P(x)=24+12(x-1)+8(x-1)(x-2)-(x-1)(x-2)(x-3)$$ จึงได้ว่า $P(6)=184$ ครับ

[Yuranan]

ข้อ 32 พิจารณา $\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{75}{4}}-\sqrt{(x+\frac{1
}{2})^2+\frac{27}{4}}+\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}$ ที่จุด $-\frac{1}{2}$ และจุดที่อยู่ด้านข้างเช่น 0 และ -1 จะได้ว่า $$min(\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{75}{4}}-\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{27}{4}}+\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}})=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$ ที่จุด $x=-\frac{1}{2}$ ครับ

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yuranan

จะเห็นได้ว่าเมื่อรากทั้งสามตัวอยู่ภายในครึ่งวงกลมเดียวกันจะได้ว่า $ \left|\,\right. \angle(x+\theta_1 )+\angle(x+\theta_2)+\angle(x+\theta_3)\left.\,\right|> 1$ เสมอ

ตรงนี้ เห็นด้วยครับ แต่ผมว่ายังไม่ชัดเจนที่จะสรุปว่า
$\left|z_1+z_2+z_3\right|>1$ ก็ต่อเมื่อ $z_1,z_2,z_3$ อยู่ในครึ่งวงกลม

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yuranan

ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ $\frac{1}{2}$ ครับ

ไม่ทราบว่าหาอย่างไรครับ

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yuranan

ผมว่าไม่ผิดนะครับ เพียงแต่ว่า $p(5)=144$ นั้นไม่ได้เป็นจุดที่ทำให้พหุนามนี้มีดีกรีเพิ่มขึ้น แต่อย่างไรก็ตามสามารถหาพหุนามที่สอดคล้องกับจุดทั้ง 5 ได้ครับ โดยใช้ Newton form ครับจะได้ว่า $$P(x)=24+12(x-1)+8(x-1)(x-2)-(x-1)(x-2)(x-3)$$ จึงได้ว่า $P(6)=184$ ครับ

คารวะ

เดี๋ยวนะครับๆ โจทย์บอกว่า $p(x)$ เป็นดีกรี 4 นะครับ

[Yuranan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

คารวะ

เดี๋ยวนะครับๆ โจทย์บอกว่า $p(x)$ เป็นดีกรี 4 นะครับ

ครับคุณ LightLucifer พูดถูกครับดังนั้นเงื่อนไขดีกรี 4 น่าจะผิดครับ ผมมองว่าคนออกข้อสอบไม่ได้เช็คว่าจุดทั้ง 5 จุดนี้สามารถสร้างพหุนามดีกรี 4 ได้หรือไม่ แต่อย่างไรก็ตามผมมองว่าเค้าสนใจให้เราหา P(6) นะครับ

[Yuranan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

ตรงนี้ เห็นด้วยครับ แต่ผมว่ายังไม่ชัดเจนที่จะสรุปว่า
$\left|z_1+z_2+z_3\right|>1$ ก็ต่อเมื่อ $z_1,z_2,z_3$ อยู่ในครึ่งวงกลม



ไม่ทราบว่าหาอย่างไรครับ

ผมมองคำตอบทั้งสามเป็นเวกเตอร์ครับ ถ้าเวกเตอร์ทั้งสามอยู่ใกล้ๆกัน จะเห็นได้ว่าขนาดของผลบวกของเวกเตอร์จะมีค่ามากกว่าหนึ่งอย่างแน่นอน แต่เมื่อเวกเตอร์ทั้งสามวางห่างกันมากขึ้น ผลบวกของขนาดย่อมมีค่าลดลง ผมจึงพิจารณาให้เวกเตอร์สองตัววางห่างกัน 180 องศาจะเห็นได้ว่า ผลบวกของเวกเตอร์ทั้งสองตัวนี้จะมีค่าเป็นศูนย์ดังนั้น (จากโจทย์ข้อนี้ เราไม่สามารถวางให้เวกเตอร์สองตัวห่างกัน 180 องศาได้เพราะคำตอบที่ได้จะไม่สอดคล้องกับโจทย์ ดังนั้นขนาดผลรวมของเวกเตอร์ทั้งสามย่อมมีค่ามากกว่าหนึ่งครับ) ดังนั้นขนาดผลรวมของเวกเตอร์ทั้งสามย่อมมีค่าเป็นหนึ่ง ไม่ว่าเวกเตอร์ตัวที่สามจะวางอยู่ไหน ดังนั้นภายในครึ่งวงกลม ขนาดผลบวกของเวกเตอร์ทั้งสามย่อมมีค่ามากกว่าหนึ่งครับ

[Amankris]

@#22
แต่ก็ยังไม่ได้บอกว่า "ถ้า $|z_1+z_2+z_3|>1$ แล้ว $z_1,z_2,z_3$ จะอยู่ในครึ่งวงกลมเดียวกันได้" นี่ครับ

@#18
พิจารณาแค่ สามจุดก็สรุปค่าต่ำสุดได้เลยหรือครับ

[Yuranan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

@#22
แต่ก็ยังไม่ได้บอกว่า "ถ้า $|z_1+z_2+z_3|>1$ แล้ว $z_1,z_2,z_3$ จะอยู่ในครึ่งวงกลมเดียวกันได้" นี่ครับ

@#18
พิจารณาแค่ สามจุดก็สรุปค่าต่ำสุดได้เลยหรือครับ

#22 ผมให้ แต่ล่ะคำตอบเป็น $e^{i\theta_1},e^{i\theta_2},e^{i\theta_3}$ จะได้ว่า ขนาดของผลบวกเป็น $\sqrt{3+2(cos(\theta_1-\theta_2)+cos(\theta_1-\theta_3)+cos(\theta_2-\theta_3)}$ จึงเห็นได้ว่าถ้า $\theta_1=0^o,\theta_2=180^o$ จึงได้ว่า $|z_1+z_2+z_3|=1$ ซึ่งเป็นกรณีต่ำสุดครับ เมื่อ มุมของแต่ละรากมีค่าใกล้เคียงกันจะได้ว่า $|z_1+z_2+z_3|>1$ ครับ
#20 ครับผมสังเกตจากมันน่าจะมีจุดต่ำสุดที่ x=-0.5 นะครับแต่เนื่องจากกราฟนี้มีความสมมาตรที่จุด x=-0.5 ดังนั้นเมื่อลองแทน x=0 และ x=1 ลงไป จะเห็นได้ว่ากราฟมีลัษณะคล้ายพาราโบลาหงายมีจุดต่ำสุดที่ x=-0.5 ครับ

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yuranan

#22 ผมให้ แต่ล่ะคำตอบเป็น $e^{i\theta_1},e^{i\theta_2},e^{i\theta_3}$ จะได้ว่า ขนาดของผลบวกเป็น $\sqrt{3+2(cos(\theta_1-\theta_2)+cos(\theta_1-\theta_3)+cos(\theta_2-\theta_3)}$ จึงเห็นได้ว่าถ้า $\theta_1=0^o,\theta_2=180^o$ จึงได้ว่า $|z_1+z_2+z_3|=1$ ซึ่งเป็นกรณีต่ำสุดครับ เมื่อ มุมของแต่ละรากมีค่าใกล้เคียงกันจะได้ว่า $|z_1+z_2+z_3|>1$ ครับ

ประเด็นแรก
$\theta_2=180^\circ$ ไม่ได้ครับ

ประเด็นที่สอง
$|z_1+z_2+z_3|$ ไม่ได้มีค่าต่ำสุดที่ $1$ ครับ

ประเด็นที่สาม
อันนี้ผมเข้าใจแล้วว่า "ถ้า $z_1,z_2,z_3$ อยู่ในครึ่งวงกลม แล้ว $|z_1+z_2+z_3|>1$"
แต่ผมอยากเห็นการพิสูจน์ "ถ้า $|z_1+z_2+z_3|>1$ แล้ว $z_1,z_2,z_3$ อยู่ในครึ่งวงกลม" น่ะครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yuranan

#20 ครับผมสังเกตจากมันน่าจะมีจุดต่ำสุดที่ x=-0.5 นะครับแต่เนื่องจากกราฟนี้มีความสมมาตรที่จุด x=-0.5 ดังนั้นเมื่อลองแทน x=0 และ x=1 ลงไป จะเห็นได้ว่ากราฟมีลัษณะคล้ายพาราโบลาหงายมีจุดต่ำสุดที่ x=-0.5 ครับ

ผมเข้าใจครับว่า กราฟนี้สมมาตรที่ $x=-0.5$

แต่ที่คุณ Yuranan ทำมาใน #18 นั้น ยังไม่ได้แสดงอะไรเลยว่ามันเป็นค่าต่ำสุดครับ

ส่วนที่ว่าคล้ายพาราโบลาไหม จากการแทนค่าแค่บางจุด น่าจะยังไม่เพียงพอในการสรุปนะครับ

[Yuranan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

ประเด็นแรก
$\theta_2=180^\circ$ ไม่ได้ครับ

ประเด็นที่สอง
$|z_1+z_2+z_3|$ ไม่ได้มีค่าต่ำสุดที่ $1$ ครับ

ประเด็นที่สาม
อันนี้ผมเข้าใจแล้วว่า "ถ้า $z_1,z_2,z_3$ อยู่ในครึ่งวงกลม แล้ว $|z_1+z_2+z_3|>1$"
แต่ผมอยากเห็นการพิสูจน์ "ถ้า $|z_1+z_2+z_3|>1$ แล้ว $z_1,z_2,z_3$ อยู่ในครึ่งวงกลม" น่ะครับ

ผมเข้าใจครับว่า กราฟนี้สมมาตรที่ $x=-0.5$

แต่ที่คุณ Yuranan ทำมาใน #18 นั้น ยังไม่ได้แสดงอะไรเลยว่ามันเป็นค่าต่ำสุดครับ

ส่วนที่ว่าคล้ายพาราโบลาไหม จากการแทนค่าแค่บางจุด น่าจะยังไม่เพียงพอในการสรุปนะครับ

ผมแค่แสดงตัวอย่างให้ดูในกรณีทั่วๆไปนะครับ และผมว่าข้อนี้ไม่เห็นจำเป็นต้องพิสูจน์ทั้งขาไปและกลับเลยนี่ครับ พิสูจน์แค่ทางเดียวก็น่าจะพอ

ส่วนอีกข้อครับก็ตอนแรกผมว่าผมได้แทนค่าที่จุด x=-0.5 แล้วนี่ครับ แล้วผมคิดว่าเราไปจำเป็นต้องแทนค่าทุกจุดเราแค่ดูแนวโน้มของกราฟว่าจะเป็นยังไงก็พอไม่ใช่เหรอครับ เช่นที่จุด x=0 จะได้ว่า $f(0)\approx2.71>f(-0.5)$ และ $f(1)\approx3.422>f(-0.5)$ โดยที่ $f(x)=\sqrt{x^2+x+19}-\sqrt{x^2+x+7}-\sqrt{x^2+x+1}$ หรืออาจใช้วิธีหาอนุพันธ์ก็ได้

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yuranan

ผมแค่แสดงตัวอย่างให้ดูในกรณีทั่วๆไปนะครับ และผมว่าข้อนี้ไม่เห็นจำเป็นต้องพิสูจน์ทั้งขาไปและกลับเลยนี่ครับ พิสูจน์แค่ทางเดียวก็น่าจะพอ

ตรงนี้เห็นด้วยครับ สำหรับกรณีรีบทำในสนามสอบแล้วเป็นแบบเติมคำ

ซึ่งเราสามารถคาดการณ์อะไรบางอย่างได้ แต่ว่าเราก็จะไม่มีทางทราบได้แน่นอนว่าที่เราเดาไปนั้นถูกจริงๆหรือไม่


โดยส่วนตัวแล้ว ผมก็อยากให้ช่วยกันแชร์ Solution จริงๆมากกว่าครับ

[Yuranan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

ตรงนี้เห็นด้วยครับ สำหรับกรณีรีบทำในสนามสอบแล้วเป็นแบบเติมคำ

ซึ่งเราสามารถคาดการณ์อะไรบางอย่างได้ แต่ว่าเราก็จะไม่มีทางทราบได้แน่นอนว่าที่เราเดาไปนั้นถูกจริงๆหรือไม่


โดยส่วนตัวแล้ว ผมก็อยากให้ช่วยกันแชร์ Solution จริงๆมากกว่าครับ

ครับ ผมเข้าใจคุณ Amankris ครับ ข้อ 32 นั้น ผมแค่อยากแสดงให้เห็นว่าสมการติดรูดนั้นไม่จำเป็นต้องแก้ด้วยการยกกำลังเสมอไป ดังเช่นในกรณีนี้ซึ่งผมใช้วิธีสังเกตเอา ถ้าจะให้ถูกต้องจริงๆคงต้องใช้การหาอนุพันธ์มาช่วยแล้วแหละครับ

[Amankris]

จาก #14

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yuranan

แสดงว่ารากสองรากนั้นจะอยู่ห่างกันได้ไม่เกิน 60 องศาดังนั้นความน่าจะเป็นคือ $\frac{1}{6}$ ครับ

หา $\dfrac{1}{6}$ อย่างไรครับ

[Amankris]

ปกติข้อสุดท้ายน่าจะยากสุด เลยลองหยิบมาคิดดู ผิดคาดเลยแฮะ

จงหาค่าของ $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin x)dx$

Solution

ให้ $S=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin x)dx$ ___(*)


เปลี่ยน $x$ เป็น $\pi-x$ ใน (*) จะได้ว่า $S=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\ln(\sin x)dx$
นำไปรวมกับ (*) จะได้ $2S=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(\sin x)dx$
เปลี่ยน $x$ เป็น $2x$ อีกที ได้ว่า $S=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin 2x)dx$


เปลี่ยน $x$ เป็น $\dfrac{\pi}{2}-x$ ใน (*) จะได้ว่า $S=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\cos x)dx$
นำไปรวมกับ (*) ได้ว่า
$\begin{array}{rcl}
\displaystyle2S&=&\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin x\cos x)dx\\
&&\\
&=&\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin 2x)dx-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln2dx\\
&&\\
&=&S-\dfrac{\pi}{2}ln2\\
&&\\
S&=&-\frac{\pi}{2}ln2
\end{array}$

หาแบบไม่จำกัดช่วงมาให้

Hide

$\displaystyle\displaystyle\int\ln(\sin x)dx=x\ln(\sin x)-x\ln(1-e^{2ix})+\dfrac{1}{2}i\left(x^2+\textrm{Li}_2(e^{2ix})\right)$