พหุนาม,mod

[[G]enerate]

1.จงหาเศษจากการหาร $1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^10$ ด้วย $1-x^2$

2.$2553^{40} \equiv 1 (mod 100)$ แสดงว่ามันคือ $2553^{40}-1$ หารด้วย 100ลงตัว หรือ$2553^{40}$หาร 100 เหลือเศษ1 ช่วยแสดงให้หน่อยครับว่ามันมายังไง
$2553^{40}$ $\equiv 1 \pmod{100}$
$2553^{40(50)+10}$ $\equiv 2553^{10} \pmod{100}$

3.มีจำนวนเต็ม $x,y$ ที่ต่างกันกี่คู่ อยู่ระหว่าง 1 และ 100 ที่ 49 ไปหาร $x^2+y^2$ ลงตัว ถ้า $(x,y)$ กับ (y,x) ถือว่าเป็นคู่เดียวกัน

[No.Name]

1.) $1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^{10}=6+(x^2-1)+(x^4-1)+(x^6-1)+(x^8-1)+(x^{10}-1)$

2.) ให้หาเลข 2 หลักสุดท้ายของ $2553^{2010}$ หรอครับ

[[G]enerate]

จากบรรทัดแรกคือ
$2553^{40}$ หาร 100 เหลือเศษ 1
แล้วทำไม
$2553^{(40)(50)+10}$ หาร 100 ต้องเหลือเศษ $2553^{10}$ ด้วย
เพราะจากที่ $2553^{40}$ หาร 100 เหลือเศษ 1 ต่อมาบรรทัดที่สอง เศษ 1 หายไปไหนหรอครับ

#4 ขอบคุณครับ

[No.Name]

จาก

$2553^{2000} \equiv 01 \pmod{100}$

จากนั้นเราก็คูณด้วย $2553^{10}$ ทั้ง 2 ข้าง

$2553^{2010} \equiv 2553^{10} \pmod{100}$

[กิตติ]

3.$x^2+y^2=49S$.....$1<x,y<100$
$(\frac{x}{7})^2 +(\frac{y}{7})^2 =S$

มองให้เป็นตัวเลขสามตัวของปิธากอรัส จะได้ว่าค่ามากที่สุดของ$\frac{x}{7}$ กับ $\frac{y}{7}$ คือ $14$
ชุดตัวเลขที่สอดคล้องคือ$(3,4,5),(6,8,10),(5,12,13)$

คำตอบคือ $3$ ชุด

[Amankris]

#5
เข้าใจผิดอยู่สองจุดนะครับ

จุดแรกคือ ยังไม่ทราบนะครับ ว่า $7|x$ หรือไม่ (นี่คือ Main Idea ของข้อนี้ครับ)

จุดที่สอง ไม่เกี่ยวกับ Pythagoras เลยครับ

[กิตติ]

ขอบคุณครับคุณAmankris.....เมื่อคืนคงเบลอจัด ข้อนี้ได้คำตอบในส่วนของค่า $x,y$ ที่ทั้งสองค่าหารด้วย $7$ ลงตัว
มีได้ $65$ คู่....เหลือเพียงหาต่อว่าในกรณีที่ทั้งสองค่าหารด้วย $7$ ไม่ลงตัวจะได้ไหม....ผมกำลังลองหาอยู่

[กิตติ]

อยากขอไอเดียในการพิสูจน์ว่า....มีค่า$x,y$ ที่ $7$ หารไม่ลงตัวที่ทำให้ $x^2+y^2$ หารด้วย $49$ ลงตัว
มึนมาหลายวัน นึกวิธีง่ายๆไม่ออก ส่วนวิธียากๆก็ไม่รู้ว่าจะทำยังไง จนปัญญาแล้วครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

อยากขอไอเดียในการพิสูจน์ว่า....มีค่า$x,y$ ที่ $7$ หารไม่ลงตัวที่ทำให้ $x^2+y^2$ หารด้วย $49$ ลงตัว
มึนมาหลายวัน นึกวิธีง่ายๆไม่ออก ส่วนวิธียากๆก็ไม่รู้ว่าจะทำยังไง จนปัญญาแล้วครับ

ไม่มีครับ คุณ Amankris คงอยากให้คุณหมอพิสูจน์ว่าไม่มี $x,y$ ที่มีสมบัตินี้

นอกจาก $x,y$ ที่หารด้วย $7$ ลงตัวครับ

ลองพิจารณาเศษจากการหารของ $x^2+y^2$ ด้วย $7$ ดูสิครับ

[กิตติ]

ขอบคุณคุณNoooNuiiมากครับ...เส้นผมบังตา จริงเลยอย่างที่ว่าคือพิจารณาให้ได้ว่า ถ้า$x^2+y^2$ หารด้วย $7$ ไม่ลงตัว ก็ย่อมหารด้วย $49$ ไม่ลงตัว และน่าจะขยายไปถึง $7^n$ ด้วยใช่ไหมครับ เมื่อ $n=1,2,3,4,...$

ถ้าผมเข้าใจตรงไหนผิด ช่วยบอกด้วยครับ

เมื่อ $x,y$ หารด้วย $7$ ไม่ลงตัว
ให้$x=7a+b$ และ $y=7c+d$ เมื่อ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนเต็ม และ$1\leqslant c,d \leqslant 6 $
$x^2+y^2=49(a^2+c^2)+14(ab+cd)+b^2+d^2$
เหลือแค่พิจารณา $b^2+d^2$.....ลองแทนค่าทั้งหมดที่เป็นไปได้ลงไปจะพบว่า $7$ หาร $b^2+d^2$ ไม่ลงตัว ดังนั้น$x^2+y^2$ หารด้วย $7$ ไม่ลงตัว

ดังนั้นสรุปว่า เมื่อ $x,y$เป็นจำนวนเต็มที่หารด้วย $7$ ไม่ลงตัวแล้ว ไม่มีค่า$x,y$ใดๆที่ทำให้ $x^2+y^2$ หารด้วย $49$ ลงตัว
จะได้ว่าแล้ว ค่า$x,y$ที่เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ $x^2+y^2$ หารด้วย $49$ ลงตัวเมื่อ$x,y$ หารด้วย $7$ ลงตัว