|
|
#1
23 มีนาคม 2009, 01:13
|
||||
|
||||
โจทย์ชวนคิด
กำหนดให้การปฏิบัติการกับเลข 4 ตัวที่เรียงกันเป็นวงกลม คือการหาค่าเฉลี่ยของเลขที่ติดกัน แล้วเขียนเลขที่ได้มาใหม่ลงไปในช่องระหว่างตัวเลขเดิม แล้วลบตัวเลขเดิมทิ้ง เช่น เริ่มมามี 2,3,5,7 -> 2.5,4,6,4.5 (เรียงเป็นวงกลม) ถ้าเริ่มด้วยตัวเลข 4 ตัวชุดนึง แล้วทำการปฏิบัติการดังกล่าวไปแล้ว 20 ครั้ง แล้วได้ 1,2,3,4 ซึ่งอาจไม่ได้เรียงลำดับอย่างนี้ คำถามคือ
(i) เราสามารถหาชุดตัวเลขหลังจากที่ทำการปฏิบัติการไปแล้ว 1 ครั้งได้หรือไม่ (ii) เราสามารถหาชุดตัวเลขเริ่มต้นได้หรือไม่ 
|
|
#4
23 มีนาคม 2009, 13:38
|
|||
|
|||
|
ให้ $a_0,b_0,c_0,d_0$ เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน ซึ่งมีคุณสมบัติว่า $a_0+c_0=b_0+d_0$
นิยามลำดับ $a_{n+1}=\dfrac{a_n-c_n+2d_n}{2}$ $b_{n+1}=\dfrac{3a_n+c_n-2d_n}{2}$ $c_{n+1}=\dfrac{a_n+3c_n-2d_n}{2}$ $d_{n+1}=\dfrac{-a_n+c_n+2d_n}{2}$ สังเกตว่า $a_{n+1}+c_{n+1}=b_{n+1}+d_{n+1}=a_0+c_0$ ทุกค่า $n=0,1,2,...$ ดังนั้น $\dfrac{a_{n+1}+b_{n+1}}{2}=a_n$ $\dfrac{b_{n+1}+c_{n+1}}{2}=b_n$ $\dfrac{c_{n+1}+d_{n+1}}{2}=c_n$ $\dfrac{d_{n+1}+a_{n+1}}{2}=d_n$ สรุปว่า ถ้ามีชุดตัวเลข $a_0,b_0,c_0,d_0$ ซึ่งมีคุณสมบัติ $a_0+c_0=b_0+d_0$ เราสามารถเจาะเวลาไปหาอดีตของจำนวนชุดดังกล่าวได้ทุกอันดับโดยใช้ลำดับที่สร้างไว้ข้างบน กลับไปดูที่ชุดตัวเลขในโจทย์ เราสามารถกำหนดให้ $a_0=1,b_0=2,c_0=4,d_0=3$ จะได้ $a_0+c_0=5=b_0+d_0$ ดังนั้นเราสามารถเจาะเวลาไปหาอดีตของ $1,2,3,4$ ได้ทุกอันดับ ป.ล. ยังไม่ได้แสดงว่าลำดับที่สร้างมานั้นมีค่าต่างกันถ้าจำนวนเริ่มต้นมีค่าต่างกันทั้งหมด เดี๋ยวคืนนี้มาต่อครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
|
|
#5
24 มีนาคม 2009, 11:15
|
|||
|
|||
|
ต่อไปจะพิสูจน์ว่า $a_n,b_n,c_n,d_n$ มีค่าต่างกันทั้งหมด
ถ้า $n=0$ ข้อความจริงจากที่กำหนดไว้ สมมติ $a_n,b_n,c_n,d_n$ มีค่าต่างกันทั้งหมด สังเกตว่า $a_{n+1}=b_{n+1}\Leftrightarrow d_{n}=\dfrac{a_n+c_n}{2}=\dfrac{a_0+c_0}{2}=\dfrac{b_n+d_n}{2}\Leftrightarrow b_n=d_n$ $a_{n+1}=c_{n+1}\Leftrightarrow c_n=d_n$ $a_{n+1}=d_{n+1}\Leftrightarrow a_n=c_n$ $b_{n+1}=c_{n+1}\Leftrightarrow a_n=c_n$ $b_{n+1}=d_{n+1}\Leftrightarrow a_n=d_n$ $c_{n+1}=d_{n+1}\Leftrightarrow d_n=\dfrac{a_n+c_n}{2}\Leftrightarrow b_n=d_n$ ดังนั้นจากสมมติฐานในขั้นอุปนัยเราจะได้ว่า $a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1},d_{n+1}$ มีค่าต่างกันทั้งหมด โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์เราจะได้ว่า $a_n,b_n,c_n,d_n$ มีค่าต่างกันทั้งหมด ทุกค่า $n=0,1,2,...$ ส่วนข้างล่างนี้เป็นอดีตของ $1,2,3,4$ ย้อนไป $5$ อันดับ $1,2,3,4$ $\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{7}{2},\dfrac{9}{2}$ $\dfrac{7}{2},-\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2},\dfrac{11}{2}$ $\dfrac{13}{2},\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{2}$ $\dfrac{17}{2},\dfrac{9}{2},-\dfrac{7}{2},\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{13}{2},\dfrac{21}{2},-\dfrac{3}{2},-\dfrac{11}{2}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
|
|
#6
24 มีนาคม 2009, 12:21
|
||||
|
||||
|
ยังงงๆอยู่อะครับว่าทำไมต้องแสดงว่า $a_n,b_n,c_n,d_n$ มีค่าต่างกันทั้งหมด
แล้วก็ผมคิดว่าคุณ nooonuii ยังไม่ได้แสดงว่า $a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1},d_{n+1}$ เป็นอดีตที่เป็นไปได้เพียงชุดเดียวของ $a_n,b_n,c_n,d_n$ (หมายถึงไม่มีเลขสี่ตัวอื่นแล้วที่จะเป็นอดีตของ $a_n,b_n,c_n,d_n$ ได้)
|
|
#7
24 มีนาคม 2009, 13:00
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
ซึ่งกรณีนี้เราไม่สามารถย้อนอดีตไปหาตัวอื่นได้นอกจากตัวมันเอง ผมจึงพิสูจน์ให้เห็นว่าถ้าเราเริ่มต้นด้วยจำนวนที่ต่างกันทั้งหมด เราจะสามารถย้อนอดีตไปกี่อันดับก็ได้ เพราะสิ่งที่โจทย์ต้องการคืออดีตของ $1,2,3,4$ ในส่วนของ uniqueness ไม่มีในโจทย์ก็เลยไม่ได้แสดงไว้ แต่พิสูจน์ก็ไม่ยากครับ ซึ่งจริิงๆแล้วระหว่างทางที่ได้สูตรข้างบนมาผมก็เห็น uniqueness ของลำดับนั้นแล้วแหละ แต่ไม่ได้ระบุไว้  เป็นโจทย์ประยุกต์การแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่แปลกและสวยดีครับ 
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 24 มีนาคม 2009 13:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii
|
|
#8
24 มีนาคม 2009, 16:04
|
||||
|
||||
|
ยังไม่ค่อยเข้าใจครับ อดีตของ 1,1,1,1 ก็คือ 1,1,1,1 ถึงจะเหมือนกันแต่ก็ไม่เป็นไรไม่ใช่เหรอครับ
พออธิบายนิดนึงว่าคำ่ว่า "หาชุดตัวเลขได้" ในโจทย์ ผมตั้งใจจะหมายความว่า จากข้อมูลที่ให้มาจะมีชุดตัวเลขที่ต้องการเพียงชุดเดียว ขออภัยที่เขียนไม่ชัดเจนครับ แล้วคุณ nooonuii เข้าใจคำว่า "หาได้" ว่ายังไงครับ
|
|
#9
24 มีนาคม 2009, 19:20
|
||||
|
||||
|
นั่นสิฮับ ก็ยังงงๆอยู่เหมือนกับคุณ Onasdi @_@?
__________________
 ความดีก็เหมือนกางเกงใน ต้องมีติดตัวไว้ แต่ไม่ต้องเอามาโชว์
|
|
#10
25 มีนาคม 2009, 07:02
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
|
|
#12
28 มีนาคม 2009, 01:14
|
||||
|
||||
|
ทั้ง 1,1,1,1 และ 0,2,0,2 ต่างก็เป็นอดีตของ 1,1,1,1 ไม่ใช่หรอครับ
อันดับก่อนหน้าไม่ได้มีเพียงหนึ่งเดียว แล้วเราจะหาอันดับย้อนไป 9 หรือ 10 อันดับได้ตรงตามใจคนสร้างปัญหาหรอครับ??? งง
__________________
Do math, do everything.
|
|
#14
28 มีนาคม 2009, 22:51
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
|
|
#15
29 มีนาคม 2009, 01:28
|
|||
|
|||
|
ให้ $T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4$ นิยามโดย
$T(a,b,c,d)=\dfrac{1}{2}(a+b,b+c,c+d,d+a)$ ให้ $W=\{(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4:a+c=b+d\}$ พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $W$ เป็น invariant subspace นั่นคือ $T(W)\subseteq W$ ให้ $S=T_{|W}$ จะได้ $S:W\to W$ สมมติว่า $(a,b,c,d)\in W$ โดยที่ $S(a,b,c,d)=(0,0,0,0)$ จะได้ระบบสมการ $a+b=0$ $b+c=0$ $c+d=0$ $d+a=0$ $a+c=b+d$ แก้ระบบสมการจะได้ $a=b=c=d=0$ ดังนั้น Ker$(S)=\{0\}$ นั่นคือ $S$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แต่ $W$ เป็น 3-dimensional vector space เราจะได้ว่า $S$ เ้ป็นฟังก์ชันทั่วถึงด้วย นั่นคือ $S$ เป็น automorphism สูตรของ $S^{-1}$ นิยามโดย $S^{-1}(a,b,c,d)=\dfrac{1}{2}(a-c+2d,3a+c-2d,a+3c-2d,-a+c+2d)$ อันนี้เป็นแนวคิดแบบ Linear Algebra ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
|
  |
|
|
