โจทย์พีชคณิต (คำถามจาก mathcenter contest)

[OMG]

1. ถ้า $\frac{a-b}{a+b} + \frac{b-c}{b+c} + \frac{c-a}{c+a} = 2553$

แล้วค่า $\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$มีค่าเท่าไหร่

2. จงหาคู่อันดับ $(x,y)$ ที่เป็นคำตอบของสมการ $x^2+2x+y^2-y-xy-2 = 0$ ในระบบจำนวนเต็ม

3. ให้ $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง $2555(3^x) - 2012(3^y) = 16959$ จงหาค่าของ $\sqrt{x^2 - y^2}$

เป็นคำถามจาก mathcenter contest

[No.Name]

ข้อ 1

$\dfrac{a-b}{a+b}=x,\dfrac{b-c}{b+c}=y,\dfrac{c-a}{c+a}=z$

$x+1=\dfrac{2a}{a+b},1-x=\dfrac{2b}{a+b}$

$y+1=\dfrac{2b}{b+c},1-y=\dfrac{2c}{a+b}$

$z+1=\dfrac{2c}{c+a},1-c=\dfrac{2a}{c+a}$

$(x+1)(y+1)(z+1)=(1-z)(1-y)(1-x)$

$2xyz=-2(x+y+z)$

$xyz=-2553$ $(x+y+z=2553)$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ OMG

3. ให้ $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง $2555(3^x) - 2012(3^y) = $$16959$ จงหาค่าของ $\sqrt{x^2 - y^2}$

เป็นคำถามจาก mathcenter contest

จริงๆ เเล้วมันคือ $16941$ ปะครับ ช่วยเช็คโจทย์

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ OMG

2. จงหาคู่อันดับ $(x,y)$ ที่เป็นคำตอบของสมการ $x^2+2x+y^2-y-xy-2 = 0$ ในระบบจำนวนเต็ม

$x^2+x(2-y)+y^2-y-2=0$

คำตอบของ x คือ

$\displaystyle x=\dfrac{y-2\pm \sqrt{-3y^2+12}}{2}$

ถ้าคำตอบเป็นจำนวนเต็ม Discriminant ต้องเท่ากับ 0 หรือต้องเป็น Perfect Power

ถ้าเป็น 0 ได้ $y=\pm 2$ จะได้คำตอบของ $(x,y)={(-2,0)(0,0)}$

ถ้าเป็น perfect power

$m^2+3y^2=12$

มีคำตอบเดียวคือ $m=3,y=\pm 1$

คำตอบ $(x,y)={(1,1),(-2,1),(-3,-1),(0,-1)}$

ตรวจคำตอบดูใช้ได้เพียง $(x,y)={(1,1),(-2,1),(-3,-1),(0,-1)}$

[No.Name]

#3

โจทย์ถูกแล้วครับ http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=9754

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ OMG

2. จงหาคู่อันดับ $(x,y)$ ที่เป็นคำตอบของสมการ $x^2+2x+y^2-y-xy-2 = 0$ ในระบบจำนวนเต็ม

$\Leftrightarrow (x+2)^2+(y-1)^2+(x-y)^2=9$
ให้ $a=x+2, b=y-1 ,c=x-y$ $~$ $a,b,c \in \mathbb{Z}$
$(a,b,c)=(0,0,3),(0,3,0),(3,0,0),(1,2,2),(2,2,1),(1,2,1)$
เเละมี $(a,b,c)=(0,0,3),(3,0,0)$ เท่านั้นที่ $a,b,c \in \mathbb{Z}$
ดังนั้น $(x,y)=(-2,1),(1,1)$
ช่วยเช็คหน่อยครับ ว่าผมผิดตรงไหน มองไม่ออกเลย

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ OMG

3. ให้ $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง $2555(3^x) - 2012(3^y) = 16959$ จงหาค่าของ $\sqrt{x^2 - y^2}$

ขอโทษทีครับ ดูผิดนึกว่า $2553$ 55+
$x\ge y$ จะได้ $3^{y}(2555(3^{x-y})-2012)=3\times 5653$
$\Rightarrow y=1 ,x=2$

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ขอโทษทีครับ ดูผิดนึกว่า $2553$ 55+
$x\ge y$ จะได้ $3^{y}(2555(3^{x-y})-2012)=3\times 5653$
$\Rightarrow y=1 ,x=2$

เร็วมากครับ

ผมยังพิมพ์ไม่เสร็จเลย

[จูกัดเหลียง]

เเล้วตรง #6 ผมลืมอะไรไปอ่ะครับ

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

เเล้วตรง #6 ผมลืมอะไรไปอ่ะครับ

$(a^2,b^2,c^2)=(0,0,9),(0,9,0),(9,0,0)$

คือ $\pm 3$ ครับ

[Amankris]

#6
ลืมว่า $a,b,c<0$ ได้

[จูกัดเหลียง]

ขอบคุณ #10,11 มากครับ

[OMG]

thanks you

#4 คือ จากที่ค่า y = +2 แล้วทำไม (x,y) = (2,0)(0,0)