Warm up a little bit ! *0*

[Beatmania]

ขอก๊อปปี้แนวจากกระทู้ FFTMO9 มาเลยนะครับ คือ ใครจะมาเติมโจทย์ก็ได้ ไม่ว่ากัน แต่ขอเป็น NT เท่านั้นนะครับ

ขอเริ่มเลยแล้วกันครับ

1. ถ้า $2+2\sqrt{28n^2+1} $ เป็นจำนวนเต็ม แล้ว $2+2\sqrt{28n^2+1} $ จะเป็นกำลังสองสัมบูรณ์

2. มีจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกัน $a_1 , a_2 , ... , a_{2555}$ หรือไม่ที่

$\frac{1}{2012} =\frac{1}{a_1} +\frac{1}{a_2} +...+\frac{1}{a_{2555}} $

$gcd (a_1,a_2,...,a_{2555}) < 2555$ (ข้อนี้คิดเองครับ :P)

3. จงแสดงว่า $n|\phi (a^n-1)$ สำหรับทุกจำนวนเต็ม a ที่เป็น relatively prime กับ n

3 ข้อพอแล้วกันฮะ คิดว่าคนในบอร์ดนี้ทำกันได้หมดแหละครับ

ขอให้สนุกนะครับ ^^

[polsk133]

ข้อ 2 คาดว่าต้องเต็มบวกรึเปล่าครับไม่งั้น

แบบนี้ได้ไหมครับ $b_i$ เป็นอะไรก็แล้วแต่เลย

$(a_1,a_2)=(b_1,-b_1)$
$(a_3,a_4)=(b_2,-b_2)$
.
.
.
$(a_{2553},a_{2554})=(b_{1277},-b_{1277})$
$a_{2555}=\frac{1}{2012}$

[polsk133]

สำหรับเซต ${a_1,a_2,a_3,a_4}$ เป็นเซตของจำนวนนับที่ต่างกัน ให้ $S=a_1+a_2+a_3+a_4 $

และ $P$ คือจำนวนคู่อันดับ $(a_i,a_j)$ ที่ $a_i+a_j | S$ และ $i<j$ จงหาเซตของจำนวนนับ 4 ตัว ที่ทำให้ P มีค่ามากสุด

ปล.หลายๆคนคงคุ้นๆ

[polsk133]

สำหรับจำนวนเต็มบวก n>1 และ p เป็นจำนวนเฉพาะ จงพิสูจน์ว่า ถ้า $p | n^3-1$ และ $n|p-1$ แล้ว $4p-3$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

[Keehlzver]

1. ถ้า $2+\sqrt{28n^2+1}$ เป็นจำนวนเต็ม แล้ว $2+\sqrt{28n^2+1}$ จะเป็นกำลังสองสัมบูรณ์

ผมว่า $2+2\sqrt{28n^2+1}$ ตกเลข 2 ไปตัวนึงรึหรือเปล่า

[Beatmania]

คุณ polsk133 เก่งจังครับ ทำแต่ของ PEN สอวน. สวนปีนี้คุณไม่พลาดแน่นอนครับ !! *0*

เพิ่มอีกข้อครับ

จงแสดงว่า $2554^{2011}|x^2+xy+y^2$ ก็ต่อเมื่อ $2554^{2012}|x^2+xy+y^2$ x y เป็นจำนวนเต็มครับ (แต่งเองอีกแล้ว)

[กระบี่ทะลวงด่าน]

#1. ข้อ3 ใช้orderทีเดียวจบ (ค่าย3)

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

2. มีจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกัน $a_1 , a_2 , ... , a_{2555}$ หรือไม่ที่

$\frac{1}{2012} =\frac{1}{a_1} +\frac{1}{a_2} +...+\frac{1}{a_{2555}} $

$gcd (a_1,a_2,...,a_{2555}) < 2555$ (ข้อนี้คิดเองครับ :P)

ให้ $x_i$ เป็นลำดับที่กำหนดโดย
1) $x_1 = 2012$
2) $x_i = x_{i-1}(x_{i-1}+1)$ เมื่อ $i \ge 2$

จะได้ว่ามี $a_i = \cases{x_i+1 & , 1 \le i \le 2554 \cr x_i & , i = 2555} $

ซึ่งสอดคล้อง

[Beatmania]

@ 7 ใช้ความคิดแบบเดียวกันครับ
@ 8 ข้อนี้ผมให้

$a_1 = 2\cdot 2012 $

$a_n = 3^{n-1}\cdot 2012 : n=2,3,...,2554 $

$a_{2555} = 2\cdot 3^{2554}\cdot 2012$ ครับ

วิธีของท่านก็ดีเหมือนกันครับ

[Pain 7th]

1. พิจารณาพบว่า $28n^2+1$ ต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$28n^2 = (k-1)(k+1) $ พิจารณา $(k-1,k+1)= 1,2$ แยกเป็น 2 กรณี พบว่าเท่ากับ 1 ไม่ได้

ให้ $k-1=2x,k+1=2y$ โดยที่ $(x,y)=1 $ จะได้ว่า

$7n^2 = xy $ ( ผมให้ 7|x ) จะได้ว่า $y=y_1^2,x=7x_1^2$

$n^2 = x_1^2y_1^2$ เราจะได้ว่า $y_1^2=7x_1^2+1$

จะได้ $28n^2+1= 28x_1^2(7x_1^2+1)+1= (14x_1^2+1)^2$

$2+2\sqrt{28n^2+1} = 28x_1^2+4=4(7x_1^2+1)= (2y_1)^2$

ฉะนั้น $2+2\sqrt{28n^2+1}$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

[Pain 7th]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

สำหรับจำนวนเต็มบวก n>1 และ p เป็นจำนวนเฉพาะ จงพิสูจน์ว่า ถ้า $p | n^3-1$ และ $n|p-1$ แล้ว $4p-3$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

$p=n^2+n+1 $ เดี๋ยวผมมาแสดงวิธีนะครับ การบ้านเยอะมากๆ

[จูกัดเหลียง]

มาต่อข้อของคุณ Pain 7th ละกันครับ เห็นว่าไม่ว่าง
จาก $p|\Big(n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)\Big)$ เเละ $n|(p-1)\rightarrow n\le p-1$
ถ้า $p|(n-1)$ ได้ว่า $p\le n-1 \le p-2$ เกิดข้อขัดเเย้ง
ดังนั้น $p|(n^2+n+1) \rightarrow p\le n^2+n+1$ เท่านั้น
เเละ จาก $n|p-1$ ดังนั้น $p=nk+1,\exists k\in\mathbb{Z}$
จะได้ว่า $nk+1|\Big((kn^2+kn+k)-(kn^2+n)=kn-n+k\Big)$
ดังนั้น $nk+1\le kn-n+k$ เพราะ $nk+1|kn-n+k$ เเละ $kn-n+k>0$
เเละได้ว่า $k\ge n+1$ ดังนั้น $n^2+n+1\ge p=nk+1\ge (n+1)n+1$
ดังนั้น $p=n^2+n+1$ ช่วยเช็คด้วยนะครับ ทำไม่ค่อยเป็น

ปล.ใครก็ได้ช่วยใบ้ ข้อ $n|\phi(a^n-1)$ กับ $2554^{2011}|(x^2+xy+y^2)$ หน่อยครับ TT

[Beatmania]

ที่จริงผมดัดแปลงมาจาก Lemma นี้ครับ

" ถ้า $p \equiv 2 \pmod{3} $ และ $p|x^2+xy+y^2$ แล้ว $p|x$ และ $p|y$ "

ข้อฟี ที่จริงใช้ Euler Theorem แล้วก็อะไรนิดนึงก็จะออกครับ ตอนแรกผมมือแปดด้านเลย T^T

[Beatmania]

ขอเติมหน่อยครับ ข้อนี้เพ้อเจ้ิอมาก = ="

ให้ $a|25542011^{20112554}+20122555^{25552012}$

จงแสดงว่าจะมี b c เป็นจำนวนเต็มบวกที่

- $\sqrt{a} $ $\sqrt{b} $ $\sqrt{c} $ เป็นความยาวด้านสามเหลี่ยม แต่ a b c ไม่สามารถเป็นความยาวด้านสามเหลี่ยม

- $\sqrt{a} >\sqrt{b} \geqslant \sqrt{c} $

- สองเท่าของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมดังกล่าวเป็นจน. เต็มบวก *0*

[จูกัดเหลียง]

ถามอีกนิดครับ ไม่รู้ว่ามีไหม (เเต่เหมือนเคยเห็น 555)
$a^m\equiv a^n\pmod k\wedge ?\rightarrow m\equiv n\pmod k$
ปล.ไม่ทราบว่ามันมีเงื่อนไขอะไรสักอย่างหรือครับ ^^