cos36 - cos72 = ?

[I am Me.]

จงหาค่าของ $cos36^{\circ} - cos72^{\circ}$

[Amankris]

แทนค่าตรงๆก็ได้นี่ครับ

[หยินหยาง]

ทำตาม rep#2 เลยครับ

กดเครื่องคิดเลขเลยครับ

อยากได้วิธีแบบไหนละครับ

แบบเรขา

ก็สร้างสามเหลี่ยมหน้าจั่วโดยให้มีมุม $36^{\circ} ,72^{\circ} ,72^{\circ} $ และด้านตรงข้ามมุม $36^{\circ} $ ยาว $=1$

แบบตรีโกณมิติ

ก็ใช้เอกลักษณ์ $\cos 2A = 2\cos^2A-1$

[gon]

แบบเชิงซ้อน(secret_solution)

ให้ $x = e^{i\pi/5} \Rightarrow x^5 = -1 \Rightarrow (x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1) = 0$ แต่ $x \ne -1$ ดังนั้น $x^4-x^3+x^2-x+1 = 0$

ดังนั้นโจทย์ = $\frac{x+x^{-1}}{2} - \frac{x^2 + x^{-2}}{2} = \frac{-(x^4-x^3+x^2-x+1)+x^2}{2x^2} = \frac{-0+x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}$

[artty60]

$cos36^{\circ} -cos72^{\circ} =1-2sin^218^{\circ} -sin18^{\circ}=(1-2sin18^{\circ} )(1+sin18^{\circ} ) $

แล้วแทนค่า $sin18^{\circ} =\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ ลงไป

$=(1-\frac{\sqrt{5}-1}{2})(1+\frac{\sqrt{5}-1}{4})=\frac{1}{2}$ เป็นคำตอบ


ซึ่ง $sin18^{\circ} $ หาได้จาก

$sin36^{\circ} =cos54^{\circ} $

$2sin18^{\circ} cos18^{\circ} =4cos^318^{\circ} -3cos18^{\circ} $

$cos18^{\circ} (4sin^218^{\circ} +2sin18^{\circ} -1)=0$

$\therefore sin18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

[I am Me.]

ขอบคุณมากครับ ได้หลายแนวคิดเลย

[Amankris]

ถ้าท่องไม่ได้ก็ทำแบบนี้แล้วกันครับ

Solution

$\begin {array}{lcl}
\cos36^\circ-\cos72^\circ&=&2\sin18^\circ\sin54^\circ\\
\\
&=&\dfrac{\sin36^\circ\sin54^\circ}{\sin72^\circ}\\
\\
&=&\dfrac{1}{2}
\end {array}$

[นกกะเต็นปักหลัก]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

ถ้าท่องไม่ได้ก็ทำแบบนี้แล้วกันครับ

Solution

$\begin {array}{lcl}
\cos36^\circ-\cos72^\circ&=&2\sin18^\circ\sin54^\circ\\
\\
&=&\dfrac{\sin36^\circ\sin54^\circ}{\sin72^\circ}\\
\\
&=&\dfrac{1}{2}
\end {array}$

บรรทัดท่ี2ไปบรรทัดที่3มายังไงครับ

[กิมจิ]

sin36sin54/sin72 = sin36sin54/2sin36cos36 = 1/2

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ นกกะเต็นปักหลัก

บรรทัดท่ี2ไปบรรทัดที่3มายังไงครับ

จาก $sin36=2sin18cos18$

$2sin18=\frac{sin36}{cos18}$

$\therefore 2sin18=\frac{sin36}{sin72}$


ปล.คุณ Amankris ช่างรอบรู้ทางคณิตศาสตร์และเทคนิคเยอะจริงๆ นับถือๆๆๆ