Diamond #

[Amankris]

#15
ไม่ต้องรอ Hint ผมว่าก็น่าจะทำเองได้อยู่แล้วนะครับ

เอาไปบางข้อก่อนละกัน

hint4

เอกลักษณ์เรื่อยๆ

hint5

คิดดีๆ มองดีๆ

hint7

ดูว่า $x^2$ จะมาจากไหนได้

hint8

หา $n$ ได้ แล้วก็กระจาย

hint11

เขียนรูปทั่วไปของพหุนามตัวนี้มาก่อน

hint12

ใช้ Recurrent

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -Math-Sci-

11.ให้ f(x) แทนพหุนามที่มีดีกรี 8 และสอดคล้องกับ

$f(m) = \frac{1}{m}$ ทุก ๆ $m = 1,2,3,...,9$

จงหา f(10)

ข้อ 11. โจทย์แนวนี้เว็บเราน่าจะเล่นไปหลายรอบแล้วครับ. ดูจากพวกโจทย์ฟังก์ชันพหุนาม ลองดูเพิ่มเติมใน USAMO1975 ซึ่ง paul เอามาเขียนเป็นตัวอย่างในหนังสือ the art and craft of problem solving ซึ่งข้อสอบ PAT เลข ถ้าจำไม่ผิด เอามาออกแนวเดียวกันนี้ 2 รอบแล้วครับ.


จะได้ $xf(x)-1=0$ สำหรับ x = 1, 2, 3, ... ,9

ให้ g(x) = xf(x)-1

แสดงว่า g(1) = g(2) = ... = g(9) = 0

to be continue

ดังนั้นโดยทฤษฎีบทตัวประกอบ แสดงว่า g(x) จะมี (x-1)(x-2)...(x-9) เป็นตัวประกอบ โดยที่ g(x) = xf(x)-1 จะเป็นพหุนามดีกรี 9

นั่นคือ xf(x)-1 = C(x-1)(x-2)...(x-9)


หาค่า C โดยการแทน x = ?

พอได้ค่า C ก็รู้ f(10)

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ข้อ 11. โจทย์แนวนี้เว็บเราน่าจะเล่นไปหลายรอบแล้วครับ. ดูจากพวกโจทย์ฟังก์ชันพหุนาม ลองดูเพิ่มเติมใน USAMO1975 ซึ่ง paul เอามาเขียนเป็นตัวอย่างในหนังสือ the art and craft of problem solving ซึ่งข้อสอบ PAT เลข ถ้าจำไม่ผิด เอามาออกแนวเดียวกันนี้ 2 รอบแล้วครับ.


จะได้ $xf(x)-1=0$ สำหรับ x = 1, 2, 3, ... ,9

ให้ g(x) = xf(x)-1

แสดงว่า g(1) = g(2) = ... = g(9) = 0

to be continue

ดังนั้นโดยทฤษฎีบทตัวประกอบ แสดงว่า g(x) จะมี (x-1)(x-2)...(x-9) เป็นตัวประกอบ โดยที่ g(x) = xf(x)-1 จะเป็นพหุนามดีกรี 9

นั่นคือ xf(x)-1 = C(x-1)(x-2)...(x-9)


หาค่า C โดยการแทน x = ?

พอได้ค่า C ก็รู้ f(10)

ขอบคุณครับแล้วพวกที่เป็น

$f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)...(x-11)$ ให้หา $f'(1)$ อะไรพวกนี้ทำยังไงครับ ?

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -Math-Sci-

ขอบคุณครับแล้วพวกที่เป็น

$f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)...(x-11)$ ให้หา $f'(1)$ อะไรพวกนี้ทำยังไงครับ ?

ก็หาอนุพันธ์ไปตรง ๆ โดยใช้สูตรผลคูณ แล้วก็จะเห็นเองว่า

$f'(x) = \frac{f(x)}{x-1} + \frac{f(x)}{x-2} + ...+ \frac{f(x)}{x-11}$

ถูกหรือเปล่าไม่รู้นะครับ ลอง diff ดูเอง

[Metamorphosis]

$f(x) = (x-1)Q(x)$
ใช้่สูตรผลคูณก็ได้แล้วนะครับ

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

$f(x) = (x-1)Q(x)$
ใช้่สูตรผลคูณก็ได้แล้วนะครับ

อ่อ . โจทย์แนวนี้ถาม ได้ไม่เกิน f(11) ใช่เปล่าครับ (ตามตัวอย่างที่ผมยกมา)

ขอบคุณพี่ gon แล้วก็คุณ Metamorphosis ด้วยครับ

Hint ของคุณ Amankris .. เอ่อ . . 55 ยังไงก็ขอบคุณมากนะครับ

เอ่อ ไอ่ที่พี่ gon ดริฟไว้ทำไมแทนค่าไปแล้วมันได้ 0 อ่ะครับ ?

[Amankris]

#21
มันกว้างไปสินะ ฮาๆ

บางทีมันต้องใช้เวลาน่ะครับ

สิ่งสำคัญไม่ใช่คำตอบ หากแต่เป็นหนทางสู่คำตอบ ที่สำคัญกว่า

[gon]

นี่แปลว่ายังไม่ได้ลองดิฟเองเลยนี่ครับ ที่เขียนไว้นั้นมันเป็นรูปที่แปลงร่างแล้ว รูปก่อนแปลงร่างมันเป็นอย่างไง ลองทำดูแบบง่าย ๆ ก่อนก็ได้ครับ.

ถ้า $f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)$

สมมติว่าหน้าคือ $(x-a)$ หลังคือ $(x-b)(x-c)$

แล้วจะได้ $f'(x) = ? + ? + ?$


ดังนั้น $f'(a) = ? + ? + ? = ?$

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

นี่แปลว่ายังไม่ได้ลองดิฟเองเลยนี่ครับ ที่เขียนไว้นั้นมันเป็นรูปที่แปลงร่างแล้ว รูปก่อนแปลงร่างมันเป็นอย่างไง ลองทำดูแบบง่าย ๆ ก่อนก็ได้ครับ.

ถ้า $f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)$

สมมติว่าหน้าคือ $(x-a)$ หลังคือ $(x-b)(x-c)$

แล้วจะได้ $f'(x) = ? + ? + ?$


ดังนั้น $f'(a) = ? + ? + ? = ?$

พี่กอน ผม diff แล้วได้ตามนั้น(แต่มองไม่ออกว่ามัน partial ได้) และเข้าใจผิดเองว่า มันเท่ากับ 0

คำตอบคือ 10!

ขอบคุณมากครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -Math-Sci-

$f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)...(x-11)$ ให้หา $f'(1)$ อะไรพวกนี้ทำยังไงครับ ?

เป็นการประยุกต์ใช้ implicit differentiation แบบหนึ่งครับ

$ln(f(x))=ln(x-1)+\cdots+ln(x-11)$

หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างได้

$\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{1}{x-1}+\cdots+\dfrac{1}{x-11}$