รากที่ 3ครับ

[วิหก]

จงหาค่าของ $\sqrt[\displaystyle{3}]{85+39\sqrt[\displaystyle{2}]{2}}$+$\sqrt[\displaystyle{3}]{85-39\sqrt[\displaystyle{2}]{2}}$

[nooonuii]

โจทย์เป็นแบบนี้เหรอครับ

$\sqrt[3]{85+39\sqrt{2}}+\sqrt[3]{85-39\sqrt{2}}$

[วิหก]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

โจทย์เป็นแบบนี้เหรอครับ

$\sqrt[3]{85+39\sqrt{2}}+\sqrt[3]{85-39\sqrt{2}}$

ครับเป็นแบบนี้ Help me

[nooonuii]

มันคือรากของพหุนามตัวนี้ครับ

$x^9-510x^6-26241x^3-4913000$

แต่หารากสวยๆไม่เจอ

[หยินหยาง]

ปกติโจทย์ลักษณะนี้ใ้ห้สมมุติว่าเท่ากับ A แล้วยกกำลังสาม จัดรูปแล้วจะได้คำตอบ ครับ แต่เท่าที่ดูข้อนี้ถ้าโจทย์ไม่ผิด ดูเหมือนจะไม่ง่ายครับ

[RoSe-JoKer]

เออ ลองใช้คาร์ดานแก้สมการนี้สิครับ
$t^3-3\sqrt[3]{4183}t-170=0$
ค่า $t$ คือคำตอบนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

เออ ลองใช้คาร์ดานแก้สมการนี้สิครับ
$t^3-3\sqrt[3]{4183}t-170=0$
ค่า $t$ คือคำตอบนะครับ

ในที่สุดก็คิดออกแล้วครับ

My Solution:

ตอบ $t=\sqrt[3]{85+39\sqrt{2}}+\sqrt[3]{85-39\sqrt{2}}$ ครับ

[God Phoenix]

คาร์ดานเป็นยังไงเหรอครับ

[HaPPyBoy]

เหมือนไม่ตอบเลยแหะ คุณ nooonuii - -"

[square1zoa]

ไอ้เจ้าคาร์ดาน คือ solving of cube equation (รึเปล่า) ที่คำตอบของสมการกำลังสามไม่เป็นจำนวนตรรกยะ ซึ่ง

ศึกษาได้จากหนังสือสอวน.พีชคณิต

[Mathephobia]

ตัวเลขน่าเกลียดน่าดูเลยครับ

[[SIL]]

แล้วคาร์ดานพอเราหาคำตอบได้ทำไมต้องใส่ตัว $\varpi$ ด้วยครับ

[[SIL]]

$\sqrt[3]{85+39\sqrt{2}} + \sqrt[3]{85-39\sqrt{2}} = x+\sqrt{y} \rightarrow (1)$
$\sqrt[3]{85+39\sqrt{2}} - \sqrt[3]{85-39\sqrt{2}} = x-\sqrt{y} \rightarrow (2)$
$\sqrt[3]{85^2-(39\sqrt{2})^2} = x^2-y \rightarrow (1)\times(2)$
$\sqrt[3]{7225-3042} = x^2-y$
$\sqrt[3]{4183} = x^2-y$ ที่ผมทำมันจะติดตรงนี้ครับซึ่งไปต่อไม่ได้รากที่ 3 มันเป็น อตรรกยะ

[[SIL]]

เดี๋ยวลองวิธีไม่ตัวเลขดูนะครับ
$\sqrt[3]{n+m\sqrt{k}} = x+\sqrt{y} \rightarrow (1)$
$\sqrt[3]{n-m\sqrt{k}} = x-\sqrt{y} \rightarrow (2)$
$\sqrt[3]{n^2-m^2k} = x^2-y \rightarrow (1)\times(2) \rightharpoonup (3)$
$n-m\sqrt{k} = x^3-3x^2\sqrt{y}+3xy-y\sqrt{y} \rightarrow (2)^3 $

เทียบสัมประสิทธิ์ จาก (2)^3
$x^3+3xy = n \rightarrow (4)$

จาก (3)
$y = x^2 - \sqrt[3]{n^2-m^2k}$ [ท่านใดคิดต่อจากนี้ได้โปรดช่วยด้วยครับ คิดออกมาให้ทฤษฎีบทออกมาสวยๆละกัน ^^]

แทนค่ากลับใน (4) จะได้
$x^3+3x(x^2 - \sqrt[3]{n^2-m^2k}) = n$
แทนค่า m ,n ,k ลงไปจะได้ค่า x แทนค่ากลับใน (3) จะได้ ค่า y
แล้วนำมาแทนใน $x-\sqrt{y}$ จะเป็นรากที่ 3 ของคำตอบข้อนี้ครับ

ท่านใดมีความสามารถก็ลองคิดต่อจากบรรทัดนี้นะครับ