ร่วมกันเฉลยแบบเรียน สอวน.กันมั้ย

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

คุณ poper

มีอีกไหมอ่ะครับ

เพิ่มไให้อีก 5 ข้อแล้วครับ

[BLACK-Dragon]

1.7 $a^4+b^4-c^4-2a^2b^2+4abc^2=(a+b+c)(a+b-c)(a^2+b^2+c^2-2ab)$

$(a+b+c)(a+b-c)(a^2+b^2+c^2-2ab)=[(a^2+b^2)-(c^2-2ab)][(a^2+b^2)+(c^2-2ab)]$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=(a^2+b^2)^2-(c^2-2ab)^2$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=a^4+b^4-c^4-2a^2b^2+4abc^2$

[BLACK-Dragon]

1.8 $x^2y^2z^2-(x+y+z)xyz+xy+yz+zx-1=(xz-1)(yz-1)(xy-1)$

$(xz-1)(yz-1)(xy-1)=-(1-xy)(1-yz)(1-zx)$

มองก้อนข้างขวาเหมือนกับพหุนามกำลังสาม

$~~~~~~~~~~~=-[1-(xy+yz+zx)+(x^yz+xy^2z+xyz^2)-x^2y^2z^2]$

$~~~~~~~~~~~=x^2y^2z^2-(x+y+z)xyz+xy+yz+zx-1$

ไว้แค่นี้ก่อนละกันครับ ง่วงนอนพรุ่งนี้มาใหม่

แล้วก็ขอบคุณ คุณ poper ด้วยนะครับ

[BLACK-Dragon]

1.6 $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2=(bx-ay)^2+(cy-bz)^2+(az-cx)^2$

$\begin{array}{rcl}
&& (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2\\
&=& (a^2)(y^2+z^2)+a^2x^2+b^2y^2+(b^2)(x^2+z^2)+z^2c^2+(c^2)(x^2y^2)-a^2x^2-b^2y^2-c^2z^2-2(axby+bycz+czax) \\
&=& (bx-ay)^2+(cy-bz)^2+(az-cx)^2\\
\end{array}$

[poper]

1.9 $x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3-x^4yz-xy^4z-xyz^4=(xz-y^2)(yz-x^2)(xy-z^2)$

ข้อนี้ไม่รู้จะแยกตัวประกอบยังไงจริงๆ ขอกระจายเลยละกันครับ
\[\begin{array}{cl}(xz-y^2)(yz-x^2)(xz-y^2)&=(xyz^2-x^3z-y^3z+x^2y^2)(xy-z^2)\\&=x^2y^2z^2-x^4yz-xy^4z+x^3y^3-xyz^4+x^3z^3+y^3z^3-x^2y^2z^2\\&=x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3-x^4yz-xy^4z-xyz^4\end{array}\]

[poper]

1.10 $(2a-b)^3+(2b-c)^3+(2c-a)^3=3(2a-b)(2b-c)(2c-a)$

ให้ $A=2a-b\ \ \ , B=2b-c\ \ \ ,C=2c-a$
จะได้ว่า $A^3+B^3+C^3=3ABC$
และจาก $A^3+B^3+C^3=3ABC+(A+B+C)(A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA)$
ดังนั้น ถ้า$A^3+B^3+C^3=3ABC$ แล้ว $A+B+C=0$ หรือ $A^2+B^2+C^2=AB+BC+CA$
$1) A+B+C=a+b+c=0$ จะได้ว่า $c=-(a+b)$
$$(2a-b)^3+(3b+a)^3+(-3a-2b)^3=3(2a-b)(3b+a)(-3a-2b)$$ ซึ่ง $(2a-b)+(3b+a)+(-3a-2b)=0$
ดังนั้น $LHS=RHS$
$2) A^2+B^2+C^2=AB+BC+CA$ แล้ว $A=B=C$
ดังนั้น $2a-b=2b-c=2c-a=k$
$$k^3+k^3+k^3=3(k)(k)(k)$$ $$3k^3=3k^3$$
ดังนั้น $LHS=RHS$
สรุป สมการนี้เป็นจริงภายใต้เงื่อนไข $a+b+c=0$ หรือ $2a-b=2b-c=2c-a$

[Amankris]

#126
เอ่อ แทนค่าทำไมน่ะครับ

[poper]

เคลียร์เรียบร้อย ต่อกันอีก 5 ข้อสุดท้ายครับ
1.11) $(a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+t^2)=(ax-by-cz-dt)^2+(bx+ay-dz+ct)^2+(cx+dy+az-bt)^2+(dx-cy+bz+at)^2$
1.12) $x^2+y^2+z^2+x^2y^2z^2-2x^2yz-2xy^2z-2xyz^2+2xy+2xz+2yz-4=(x+y+z-xyz-2)(x+y+z-xyz+2)$
1.13) $[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]^2=2[(x-y)^4+(y-z)^4+(z-x)^4]$
1.14) $$\frac{(a+b-c)(a^2+b^2+c^2+bc+ca-ab)+c(c^2-3abc)}{a^2-ab+b^2}=a+b$$
1.15) $(a^2-b^2+c^2-d^2)^2+2(ab-bc+dc+ad)^2=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2-2(ab-ad+bc+dc)^2$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ข้อนี้ไม่รู้ว่าทำแบบนี้ได้มั้ยครับ
เนื่องจาก $a^3+b^3+c^3=3abc$ แล้ว $a+b+c=0$ให้ $A=2a-b\ \ \ , B=2b-c\ \ \ , C=2c-a$
จะได้ว่า $A^3+B^3+C^3=3ABC$ ดังนั้น $A+B+C=a+b+c=0$
ให้ $a=1\ \ \ , b=-1 \ \ \ , c=0$
$(2+1)^3+(-2)^3+(-1)^3=3(2+1)(-2)(-1)$
$18=18$
ดังนั้น $(2a-b)^3+(2b-c)^3+(2c-a)^3=3(2a-b)(2b-c)(2c-a)$

ท่าน poper นี่มุ่งมั่นจังครับ แวะมาบอกว่า

เริ่มต้นก็ไม่จริงแล้วครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

#126
เอ่อ แทนค่าทำไมน่ะครับ

ไม่ได้ใช่มั้ยครับ ผมก็ยังงๆ แต่เห็นว่าเคยมีคนแทนค่าแบบนี้อ่ะครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ท่าน poper นี่มุ่งมั่นจังครับ แวะมาบอกว่า

เริ่มต้นก็ไม่จริงแล้วครับ

ง่า...ทำไมมันคุ้นๆว่าเคยเจอนะครับ
เดี๋ยวลองคิดใหม่ดูครับ

[หยินหยาง]

#131
ที่ถูกต้องเป็นแบบนี้ครับ

ถ้า $a+b+c =0$ แล้ว $a^3+b^3+c^3 =3abc$ แต่บทกลับไม่จริงครับ วิธีทดสอบว่าของคุณ poper ถูกหรือไม่ก็ลองแทนค่า $a=b=c$ ดูก็ได้ครับ หลายครั้งเวลาโจทย์กำหนด $a^3+b^3+c^3 =3abc$ เรามักไปสรุปเอาเองว่า $a+b+c =0$ ซึ่งอาจไม่จริงก็ได้ครับ

[Keehlzver]

จากที่คุณหยินหยางบอกมา $a^3+b^3+c^3=3abc+(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

ถ้าหากว่า $a^3+b^3+c^3=3abc$ แล้ว a+b+c=0 หรือ $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$

วิธีทำของคุณ poper ผมคิดว่าต้องพิสูจน์ต่อไปอีกในกรณี $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$ หรือ $a=b=c$ นั่นเอง

[จูกัดเหลียง]

1.13 ให้ $a=x-y,b=y-z,c=z-x \rightarrow a+b+c=0$
$$abc(a+b+c)=0 \Rightarrow 2(a^2bc+b^2ca+c^2ab)=0$$
$$\Rightarrow a^2(a^2-2bc)+b^2(b^2-2ca)+c^2(c^2-2ab)=a^4+b^4+c^4$$
$$a^2(b^2+c^2)+b^2(c^2+a^2)+c^2(a^2+b^2)=a^4+b^4+c^4$$
$$(a^2+b^2+c^2)^2=2(a^2+b^2+c^2)$$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

จากที่คุณหยินหยางบอกมา $a^3+b^3+c^3=3abc+(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

ถ้าหากว่า $a^3+b^3+c^3=3abc$ แล้ว a+b+c=0 หรือ $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$

วิธีทำของคุณ poper ผมคิดว่าต้องพิสูจน์ต่อไปอีกในกรณี $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$ หรือ $a=b=c$ นั่นเอง

ขอบคุณมากครับ ผมลองดูแล้วครับ
แสดงว่าสมการนี้จะเป็นจริงได้ ต้องอยู่ภายใต้เงื่อนไข คือ
1) $a+b+c=0$ หรือ
2) $a=b=c$ นั่นคือ สมการนี้ไม่เป็นจริงทุกๆค่า $a,b$ และ $c$ แสดงว่าสมการนี้ไม่เป็นเอกลักษณ์สิครับ
พอลองกระจายแต่ละข้างออกมาดูก็ได้ว่า
$LHS=7a^3+7b^3+7c^3+6ab^2+6bc^2+6ca^2-12a^2b-12b^2c-12c^2a$
$RHS=21abc+6ab^2+6bc^2+6ca^2-12a^2b-12b^2c-12c^2a$
ซึ่งถ้า $LHS=RHS$ แสดงว่า
$7(a^3+b^3+c^3)=21abc$
$a^3+b^3+c^3=3abc$ ก็เข้าเงื่อนไขเดิมอยู่ดี
ดังนั้นถ้าพิสูจน์ข้อนี้ก็ต้องเพิ่มเงื่อนไขสองข้อนี้เข้าไปใช่มั้ยครับ